Главная страница
qrcode

[Конспект_лекции_по_математике]_Занятие_№1. Решение Рассмотрим треугольник aoc. Его стороны


НазваниеРешение Рассмотрим треугольник aoc. Его стороны
Дата11.08.2020
Размер1.2 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файла[Конспект_лекции_по_математике]_Занятие_№1.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипРешение
#42752
Каталог

Физтех-Центр
Занятие 1 - Планиметрия
Курс читает:
Агаханов Назар Хангельдыевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики МФТИ.
Медианы
Свойство - медианы треугольника пересекаются в одной точке и делят в отношении 2 : 1 считая от вершины.
Также делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Задача 1
Пусть известны длины двух медиан m
1
, m
2
. Какова наибольшая площадь такого треугольника?
Решение
Рассмотрим треугольник AOC. Его стороны
2 3
m
1
и
2 3
m
2
. Площадь равна S
1
=
1 2
2 3
m
1 2
3
m
2
sin α
По свойству медиан S
1
=
1 3
S
. Максимум достигается при α = 90°. Значит S = 3 ·
2 9
m
1
m
2
Важная формула: длина медианы:
m
2
a
=
2b
2
+ 2c
2
− a
2 4
Задача 2
Доказать, что в прямоугольном треугольнике m
2 1
+ m
2 2
= 5m
2 3
Решение
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
Рассмотрим векторы

a,b,
m
1
,
m
2

m
1
= −
b
2
+ a

m
2
= −
a
2
+ b

m
3
=
a + b
2
Тогда наше равенство примет вид:
(−
b
2
+ a)
2
+ (−
a
2
+ b)
2
= 5(
a + b
2
)
2
Умножим на 4:
(−b + 2a)
2
+ (−a + 2b)
2
= 5(a + b)
2
b
2
− 4ab + 4a
2
+ a
2
− 4ab + 4b
2
= 5a
2
+ 10ab + 5b
2 18ab = 0
Эта цепочка равенств обратима, поэтому можем заключить что исходное равенство выполняется тогда и только тогда когда a и b перпендикулярны, то есть треугольник прямоугольный.
Биссектрисы
Формула длины биссектрисы
Обозначим угол треугольника 2α. Тогда площадь треугольника равна
S =
1 2
ab sin 2α
С другой стороны
S =
1 2
al sin α +
1 2
bl sin α
То есть ab sin 2α = (a + b)l sin α ⇒ l =
2ab cos α
a + b
Известно, что биссектрисы пересекаются в одной точке - центре вписанного в него окружности. Также воспользуемся тем фактом, что x : y = a : b.
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
Задача 3
В треугольник вписали окружность. Определить в каком отношении центр этой окружности поделит биссектрису,
то есть найти BL : IL.
Решение
AL : CL = c : a
AL + CL = b ⇒ AL =
cb a + c
Рассмотрим треугольник ABL и его биссектрису AI. Она делит BL в следующем отношении:
BI : IL =
c(a + c)
cb
=
a + c b
Задача 4
В некотором треугольникe известны длины высот: h
1
= 12, h
2
= 15, h
3
= 20
. Найти площадь треугольника.
Решение
Заметим что в любом треугольнике h
a
=
2S
a
⇒ a =
2S
h a
Значит по данным из условия можем заключить, что a1 : a2 : a3 =
2S
h1
:
2S
h2
:
2S
h3
=
1 12
:
1 15
:
1 20
= 5 : 4 : 3
Получили, что треугольник прямоугольный. То есть две высоты являются двумя сторонами. Значит катеты равны 15 и 20 (так как самая короткая сторона в прямоугольном треугольнике лежит против гипотенузы).
Значит площадь
S =
1 2
15 ∗ 20 = 150
Теорема Менелая.
Пусть есть треугольник и прямая, не проходит через вершины треугольника. Тогда
BA
1
A
1
C
·
CB
1
B
1
A
·
AC
1
C
1
B
= 1
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
Задача 5
Дан прямоугольный треугольник ACB. BL - биссектриса, AM - медиана, BL ∩ AM = P . Найти стороны треугольника, если известно, что BP = 8, LP = 5.
Решение
Пусть CM = MB = x. Применим теорему Менелая к треугольнику LBC и прямой AM.
LP
BP
·
BM
M C
·
CA
AL
= 1 5
8
· 1 ·
CA
AL
= 1 ⇒ CA = 8t, AL = 5t ⇒ CL = 3t
То есть LC : AL = 3 : 5. Так как BL - биссектриса, то CB : AB = 3 : 5. Значит
CB = 3z = 2x
AB = 5z
По теореме Пифагора AC = 4z = 8t ⇒ z = 2t. Тогда CB = 3z = 6t. Из теоремы Пифагора для треугольника
CLB
находим t:
(3t)
2
+ (6t)
2
= 13 2
⇒ t = . . .
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
Зная t, можно легко найти стороны треугольника.
Доказательство теоремы Менелая
Проведем прямую l
0
, параллельную прямой l через точку A.
По теореме Фалеса
CB
1
B
1
A
=
CA
1
A
1
P
,
AC
1
C
1
B
=
P A
1
BA
1
BA
1
A
1
C
·
CB
1
B
1
A
·
AC
1
C
1
B
=
BA
1
A
1
C
·
CA
1
A
1
P
·
P A
1
BA
1
= 1
Задача 6
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Ее длина равна 5. Рассматриваются ортогональные проекции точки M на стороны треугольника - K и N. Известно, что BK = 4, BN = 2

5
. Найти сторону AC.
Решение
Пусть AM = MC = x. Будем использовать тот факт, что медиана треугольника делит его на равновеликие части.
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
По теореме Пифагора
M K = 3, M N =

5, AK =
p x
2
− 9, CN =
p x
2
− 5
Значит
AB = 4 +
p x
2
− 9, BC = 2

5 +
p x
2
− 5
S
ABM
= S
CM B

1 2
∗ 3 ∗ (4 +
p x
2
− 9) =
1 2


5 ∗ (2

5 +
p x
2
− 5)
2 + 3
p x
2
− 9 =
p
5x
2
− 25
Обозначим z =

x
2
− 9 ≥ 0, x
2
= z
2
+ 9
. Тогда уравнение примет вид
2 + 3z =
p
5z
2
+ 20
Возводя уравнение в квадрат и выбирая неотрицательный корень, мы получаем ответ.
Задача 7
Дана трапеция ABCD, биссектрисы углов A и D пересеклись на стороне BC в точке P . BC : AD = 2 : 3, AB :
CD = 3 : 5
. Найти углы трапеции.
Решение
Напомним, что биссектрисы в трапеции отсекают равнобедренные треугольники.
Пусть AB = 3x. Тогда CD = 5x. Получаем, что BP = AB = 3x, CP = CD = 5x ⇒ BC = 8x, AD = 12x.
Проведем прямую BL, параллельную CD. Тогда BL = 5x, AL = 4x. По теореме Пифагора ABL - прямоугольный.
Значит ∠A = 90°.
Проведем высоту CH на основание. Тогда HD = 4x. Тогда ∠D = arcsin
3 5
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
Задача 8
Дан параллелограмм. Его стороны равны a и b. Точки пересечения его биссектрис образуют параллелограмм.
Найти отношение
S
1
S
, где S
1
- площадь этого параллелограмма, а S - площадь исходного параллелограмма.
Решение
Пусть ∠A = 2α. Тогда ∠B = π − 2α. ∠BEA =
π
2
. Получаем, что EF T R - прямоугольник.
Пусть
EF = x, F T = y
. S
1
= xy, S = ab sin 2α.
x = AF − AE = AD cos α − AB cos α = (b − a) cos α
y = AD sin α − CD sin α = (b − a) sin α
S
1
S
=
(b − a)
2
cos α sin α
ab sin 2α
=
1 2
(b − a)
2
ab
=
1 2
(k − 1)
2
k
(k =
b a
)
Задача 9
В треугольнике ABC провели высоты AA
1
, CC
1
. ∠B = β. Найти
S
A1BC1
S
ABC
Решение
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
Заметим, что
BA
1
AB
= cos β =
BC
1
BC
. То есть 4A
1
BC
1
∼ 4ABC, k = cos β
. Значит площади относятся как квадрат коэффициента подобия:
S
A
1
BC
1
S
ABC
= k
2
= cos
2
β
Задача 10
Дан параллелограмм ABCD. Дана точка F внутри него. Треугольник CDF - равносторонний. Точка F на расстояниях 10, 3, 6 от AD, AB, BC. Найти периметр параллелограмма.
Решение
Пусть CD = a. Тогда F C = F D = a. Обозначим ∠F DA = α.
∠BCF = π − α − 2
π
3
=
π
3
− α
Пусть F K - высота на BC, F M - высота на AD. Тогда из треугольников F KC, F MD получаем
6 = a sin(
π
3
− α)
10 = a sin α
3 sin α = 5 sin(
π
3
− α) ⇒ 6 sin α = 5

3 cos α − 5 sin α ⇒ tg α =
5

3 11
⇒ cos α =
11 14
, sin α =
5

3 14
Значит a =
10
sin α
=
28

3
Проведем высоты F P на CD и F Q на AB.
F P = a

3 2
⇒ F P = 14
Тогда P Q = 17.
S
ABCD
= 17 · a = 16 · AD ⇒ AD = . . .
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
Задача 11
Дан параллелограмм ABCD. Биссектрисы углов B и C пересекаются в точке P . AP = 2

10, DP = 5, ∠A =
2 arcsin
2

13
. Найти стороны параллелограмма.
Решение
Пусть AD = x, CD = y. Угол C равен 2α, B - 2β. По условию sin α =
2

13
. Тогда
β =
π
2
− α
BP = x sin α =
2

13
x
CP =
3

13
x
Из треугольника ABP по теореме косинусов:
(2

10)
2
= y
2
+
4 13
x
2
− 2y ·
2

13
x cos β
40 = y
2
+
4 13
x
2

8 13
xy
4CDP
:
25 = y
2
+
9 13
x
2

18 13
xy
1 способ:
40 = y
2
+
4 13
(x
2
− 2xy), 25 = y
2
+
9 13
(x
2
− 2xy)
Замена u = y
2
, v = x
2
− 2xy
. Получим систему линейных уравнений, которую легко решаем.
2 способ: Такие системы легко решают приведением к однородному уравнению и заменой t =
x y
Лемма.
Пусть есть два отрезка на прямой и точка, не лежащая на этой прямой. Эта точка и концы отрезков образуют два треугольника. Их площади относятся как длины отрезков.
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
Доказательство очевидно (достаточно расписать площадь как половину произведения высоты на основание).
Следствие.
В четырехугольнике S
1
· S
3
= S
2
· S
4
Задача 12
В треугольнике ABC проведены медиана AM и биссектриса BL. Они пересекаются под прямым углом. Эти отрезки разбили треугольник на 4 части. Найти отношение их площадей.
Решение
Пусть AM пересекает BL в точке H. В треугольнике ABM BH - биссектриса и высота, значит ABM равнобедренный. Тогда S
1
= S
2
S
ABM
=
S
2
⇒ S
1
= S
2
=
S
4
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ
Физтех-Центр
Пусть AB = BM = MC = x. Тогда AL : LC = x : 2x = 1 : 2 ⇒ AL = y, LC = 2y.
S
ABL
: S
ABC
= y : 3y ⇒ S
ABL
=
S
3
⇒ S
AHL
=
S
3

S
4
=
S
12
S
HM CL
=
S
2

S
12
=
5S
12
Задача 13
В трапеции со основаниями a и b провели отрезок, параллельный основаниям, который делит площадь пополам.
Найти длину этого отрезка.
Решение
Продолжим боковые стороны трапеции до пересечения. Пусть площадь верхнего треугольника равна S
0
. Тогда
S
0
S
0
+
S
/
2
= (
a x
)
2
S
0
S
0
+ S
= (
a b
)
2
x
2
a
2
=
S
0
+
S
/
2
S
0
= 1 +
S
2S
0
b a
a
2
=
S
0
+ S
S
0
= 1 +
S
S
0
Умножим первое уравнение на 2 и вычтем первое из него:
2
x
2
a
2

b
2
a
2
= 1 ⇒ x
2
=
a
2
+ b
2 2
⇒ x =
r a
2
+ b
2 2
Физтех-Центр
Математика. Подготовка к ЕГЭ

перейти в каталог файлов


связь с админом