Тема 1, Элементы линейной и векторной алгебры. Контрольные вопросы по каждой теме, список учебной литературы, примеры решения задач, контрольные задания и основной теоретический материал, необходимый для освоения курса и решения задач

Название	Контрольные вопросы по каждой теме, список учебной литературы, примеры решения задач, контрольные задания и основной теоретический материал, необходимый для освоения курса и решения задач
Дата	08.08.2021
Размер	2.14 Mb.
Формат файла
Имя файла	Тема 1, Элементы линейной и векторной алгебры.doc
Тип	Контрольные вопросы #47520
Каталог

ВВЕДЕНИЕ

Цель настоящего издания – снабдить студентов-заочников рабочей программой и контрольными заданиями по курсу высшей математики.

Пособие содержит рабочую программу и контрольные вопросы по каждой теме, список учебной литературы, примеры решения задач, контрольные задания и основной теоретический материал, необходимый для освоения курса и решения задач.

Распределение объемов занятий и видов учебной работы при изучении высшей математики для студентов-заочников всех специальностей дано в табл. 1.
Таблица 1

Семестр
Занятия, часы
Выполнение контрольных работ
Контроль
Лекции
Лабораторные работы
Практические занятия
Самостоятельные работы
1-6
8-32
-
8-12
600-800
1-6
Экзамен или зачет

Основной формой изучения дисциплины являются самостоятельная работа студента с рекомендованной литературой и решение индивидуальных контрольных заданий. Ознакомление с теоретическими сведениями, содержащимися в пособии, не может заменить системной работы с литературой. Прежде чем переходить к решению задач, следует ответить на контрольные теоретические вопросы по данной теме, приведенные в пособии.

По каждой теме достаточно ознакомиться с одним (любым) из указанных учебников.

Номер темы в пособии
1
2
3
4
5
6
Рекомендуемая для предварительной проработки литература
[1], гл.1, §§1-3; гл.5, §§1-6

[4], гл.3,9
[1], гл.2-3, §§1,2

[4], гл. 3,
[3], гл.1-6,

[4], гл.4,5,6
[3], гл.10-12,

[4], гл.7,8
[3], гл.8,

[4],гл.11,12
[3], гл.13, [4], гл.15

Выполнять контрольные работы следует по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой учебного шифра. В качестве учебного шифра принимают последнюю цифру номера зачетной книжки студента. Если эта цифра ноль, то следует выполнять десятый вариант. Каждый пример (или примеры, если их в задании несколько) пронумерован тремя цифрами: первая означает номер контрольной работы, вторая - номер задания в контрольной работе, третья - номер варианта. Например, если учебный шифр оканчивается цифрой 7, то нужно решать в каждом задании контрольной работы №1 примеры под номером 7, т.е. примеры 1.1.7., 1.2.7., 1.3.7., 1.4.7., 1.5.7.

При выполнении и оформлении контрольных работ необходимо соблюдать следующие указания:

1. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

2. На обложке тетради должны быть написаны фамилия и инициалы студента, учебный шифр, номер контрольной работы и дата отсылки работы в институт.

3. В работу должны быть включены все примеры, указанные в заданиях, строго по варианту. Работы, содержащие не все задачи, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решения задач следует располагать в порядке возрастания их номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условия. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывая условия задачи, следует заменить общие данные конкретными из данного варианта.

6. Решение задач и объяснения к ним должны излагаться подробно и аккуратно.

7. После получения из ПГТУ прорецензированной работы, студент обязан исправить все отмеченные в работе недостатки; в случае незачета - в кратчайший срок выполнить все требования преподавателя и предоставить работу на повторную проверку, приложив при этом первоначальный её вариант.

8. В период экзаменационной сессии студент обязан представить все прорецензированные и зачтенные контрольные работы.
Тема 1. Элементы линейной и векторной алгебрыПрограммный объём темы:

Матрицы и операции над ними. Ранг матицы.
Определители и их свойства. Вычисление определителей.
Системы линейных уравнений. Метод Гаусса, правило Крамера, матричный метод решения систем.
Векторы, операции над векторами, разложение вектора, линейные операции над векторами.
Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их свойства и приложения.

1.1. Линейная алгебра
Определение. Матрицей А размера
Короче матрицу обозначают так:
Числа
Если в матрице число строк равно числу столбцов n-го порядка. Если же
В матрице А m строк и n столбцов.

Если
Если же
,

которая называется вектор-столбцом.

Две матрицы: i,j (при этом число столбцов и строк матриц А и В должно быть одинаковым).

Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим операции над матрицами.

Суммой двух матриц

Обозначение: A+B=C .
Пример 1.

Аналогично определяется разность двух матриц.

Чтобы умножить матрицу
Пример 2.
Произведение двух матриц.

Произведением матрицы m строк, k столбцов) на матрицу k строк, n столбцов) называется матрица m строк, n столбцов), у которой элемент i-й строки матрицы А на j-й столбец матрицы В, т.е.

При этом число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. В противном случае произведение матриц не определено.

Обозначение: Пример 3.

Пример 4.

Отсюда видно, что
Легко проверить, что для суммы и произведения матриц справедливы следующие свойства.

Единичная матрица.

Совокупность элементов
Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Единичной матрицей 3-го порядка будет
Произведение квадратной матрицы любого порядка на единичную матицу того же порядка не меняет данную матрицу.

Пример 5.

Очевидно, Определители и их свойства
Рассмотрим квадратную матрицу3-го порядка.

Определение. Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим матрице А, называют число, обозначаемое символом

и определяемое равенством

Числа
Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (*) берутся со знаком +, а какие со знаком - , полезно пользоваться правилом треугольников.

Пример.

Замечание

Определителем 2-го порядка
Определение. Минором i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическим дополнением

Свойства определителей рассмотрим на примере определителей третьего порядка.
1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы определителя поменять местами.

2. При перестановке двух рядом стоящих строк (или столбцов) определителя знак определителя меняется на противоположенный, т.е.

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковых строки, то он равен нулю.

4. Общий множитель всех элементов некоторого столбца (или строки) выносится за знак определителя

5. Если все элементы столбца (строки) равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если элементы двух столбцов (строк) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: в одном на месте суммы стоит первое слагаемое, в другом –второе.

8. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число, то определитель при этом не изменится.

9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на их алгебраические дополнения.

Представление определителя в соответствии со свойством 9 называется разложением определителя по элементам некоторого столбца (строки).

10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца (строки) на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другого столбца (строки) равна нулю.

Пример.

Вычислить определитель, разлагая его по элементам первой строки.

1.2. Векторная алгебра

Прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы измерения длины и трёх пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей: Ox,Oy, и Oz.

Точка Ox- ось абсцисс, Oy-ось ординат,

Oz – ось аппликат.

Пусть М- произвольная точка пространства (рис. 1.1). Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ox, Oy, и Oz. Точка пересечения построенных плоскостей обозначается через
М называются числа

П М.

При заданной системе координат каждой точке М соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x, y, z) – её прямоугольные координаты и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (x, y, z) соответствует, и при том одна, точка М в пространстве.

Плоскости Oxy,Oxz,Oyz называются координатными плоскостями.
Скалярные и векторные

величины
Некоторые величины в физике, механике и других науках полностью определяются заданием одного числа. Например, объем, масса, температура и др. Такие величины называются
Такие величины называются
Любая упорядоченная пара точек А и B в пространстве определяет направленный отрезок, т.е. отрезок вместе с заданным на нём направлением. Если точка А – первая, то её называют началом отрезка, а точку B– его концом. Направлением отрезка считается направление от начала к концу отрезка.

Определение. Вектором называется направленный отрезок, или (что то же самое) упорядоченная пара точек.

Вектор обозначается
ВРис. 1.2.
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной (или модулем)и обозначается
Векторы
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет определенного направления, длина его, очевидно, равна нулю, т.е.
Определение. Векторы
а) коллинеарны;

б) одинаково направлены;

в) равны по длине.

Рис.1.3.

Рис.1.4.

И
Рис.1.5.

Проекция вектора на ось

Рассмотрим некоторый вектор Ou. Проведём через точки A и B плоскости, перпендикулярные к оси Ou. Обозначим через
Проекция вектора AB на ось Ou обозначается прuAB.
Определение. Проекцией вектора AB на осьOu называется число, равное Ouи Ou.

Нетрудно показать, что

прuAB=

где - угол, образованный вектором AB с осью Ou.

Координаты вектора. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и произвольный вектор

Проекции X, Y, Z вектора
Для любых точек

В этом случае модуль вектора

Если через

Очевидно, что Линейные операции над векторами и их свойства

Определение. Для любых двух векторов
Разностью двух векторов
А

Рис.1.7.
Если векторы
Построим параллелограмм на векторах
Определение. Пусть даны вектор . Произведением >0, и противоположенное, если <0.

ЕРис.1.8.
вектор  раз, а если <0 изменяется направление вектора на противоположное.
Свойства линейных операций:
Эти свойства позволяют выполнять действия с векторными многочленами по тем же правилам, по которым выполняются действия с алгебраическими многочленами.

Если известны координаты векторов

Отсюда легко получить условия коллинеарности двух векторов.

Векторы

Определение. Три вектора
Любые три некомпланарных вектора образуют в пространстве базис. Это означает, что любой вектор

где ,, – некоторые числа.

Представление (2) называется разложением вектора
Скалярное произведение векторов
О. Скалярным произведением двух векторов
Скалярное произведение обозначается
Таким образом,

Учитывая, что

Отсюда получаются формулы

Свойства скалярного произведения

Указанные свойства позволяют находить скалярное произведение векторных многочленов по тем же правилам, по которым перемножаются алгебраические многочлены, например:

4.
Скалярное произведение
5.
Два вектора Выражение скалярного произведения через координаты векторов
Если

Векторное произведение векторов
Векторы
Тройка векторов, приведенных к одному началу, называется упорядоченной, если указанно какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Например, в записи
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется
О. Векторным произведением вектора
вектор
векторы
Свойства векторного произведения

Два вектора
Модуль векторного произведения
Если
Смешанное произведение трех векторов
Определение. Смешанным произведением трех векторов
Теорема. Смешанное произведение V параллелепипеда, построенного на векторах

Из теоремы легко получается следующее свойство:

которое позволяет обозначать смешанное произведение более простым символом:

Если
Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Матричный способ
Пример 1. Решить систему:

1-й способ. По формулам Крамера:

где

x) столбцом свободных членов.

Аналогично получаем

Если
2-й способ. Метод Гаусса, или метод исключения неизвестных.

Рассмотрим сначала несколько понятий.

Определение. Рангом матрицы
Пример.

Вычислим все миноры третьего порядка:

Вычислим минор второго порядка:

поэтому ранг матрицы A равен 2:

Рассмотрим более простой способ вычисления ранга матрицы, основанный на приведении матрицы к ступенчатому виду.

Определение. Матрицу А называют ступенчатой, если

а) любая её строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,

б) первый отличный от нуля элемент каждой её строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.

Пример.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования её строки:

а) перестановка двух каких-нибудь строк;

б) умножение элементов какой-либо строки на число, отличное от нуля;

в) прибавление к элементам какой-либо строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число.
Пример.

Из последней матрицы (ступенчатый вид) видно, что
Приведем несколько утверждений без доказательств.

Теорема 1. При элементарных преобразованиях и отбрасывании нулевой строки ранг матрицы не изменяется.

Теорема 2. Всякую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и выбрасывания нулевых строк.

Теорема 3. Ранг ненулевой матрицы равен числу строк её ступенчатого вида.

Рассмотрим систему:

Определение. Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.

Определение. Матрица называется расширенной матрицей системы, если к матрице

Расширенная матрица- это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями мы можем заменить работой со строками матрицы.

Эффективным методом решения и исследования системы линейных уравнений является метод исключения неизвестных, называемый также методом Гаусса. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида (или, в частности, треугольную систему), которая легко исследуется и решается. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Рассмотрим систему

Заметим, что иногда могут встречаться уравнения, все коэффициенты которых (т.е. соответствующая строка матрицы) равны 0:

Если в этом уравнении
Элементарные преобразования матрицы, рассмотренные ранее, можно производить и над расширенной матрицей системы, поэтому в дальнейшем будем говорить об элементарных преобразованиях, не делая различий между уравнениями системы и строками расширенной матрицы.

Разберём идею метода Гаусса на конкретных примерах.

Пример 2.

Решение.

I этап: запишем систему в виде расширенной матрицы

II этап: исключим с помощью первого уравнения x из остальных уравнений. Для этого домножим первую строку на –3 и сложим её со второй, затем умножим первую строку на –2 и сложим её с третьей.

Получим

Последняя строка состоит из нулей, если её расписать в виде уравнения, то получим

Это уравнение является тождеством, поэтому его нет смысла оставлять в системе.

Раскодируем полученную матрицу:

Выразим из второго уравнения

Подставим в первое уравнение вместо

Ответ:

Получим так называемое общее решение системы, которое является формулой для получения конкретных её решений. Эти конкретные решения системы называются частными решениями. Получают их следующим образом: придавая переменным
Получим одно из частных решений в предыдущем примере. Пусть
Ответ:
Пример 3.

Решение.

Закодируем систему и приведем матрицу к треугольному виду

Таким образом, заданная система равносильна следующей:

Находим

Ответ:
Пример 4.

Выпишем расширенную матрицу и упростим её:

Полученная система

несовместна, так как её последнее уравнение не имеет смысла. Следовательно, исходная система также несовместна.
Матричный способ решения систем.
Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Введем следующие обозначения:

– столбец неизвестных и столбец свободных членов, соответственно.

Тогда систему можно записать в матричной форме:

Пусть матрица
Умножим матричное уравнение на

Заметив, что

Переходя к координатной записи в последнем равенстве, выпишем решение исходной системы уравнений.
Построение обратной матрицы
Обратная матрица существует только для квадратной матрицы, определитель которой не равен нулю. Такая матрица называется невырожденной.

Пусть матрица

Построим союзную матрицу

Обратная матрица

Решим систему (см. пример 1) матричным способом.

Здесь

Решим матричное уравнение
Составим обратную матрицу

Выпишем все алгебраические дополнения для данной матрицы.

Составим матрицу

Решим матричное уравнение

Отсюда получаем решение системы:

Ответ:

Замечание.

Аналогично, матричным способом, можно решать любые системы
Контрольная работа №1 по теме

«Элементы линейной и векторной алгебры»
Вычислить определитель.

1.1.1.
1.1.2
1.1.3.
1.1.4.
1.1.5
1.1.6.
1.1.7.
1.1.8
1.1.9.
1.1.10.

1.2. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными тремя способами: методом Гаусса, по формулам Крамера и матричным способом.

1.2.1.
1.2.2.
1.2.3.
1.2.4.
1.2.5.
1.2.6.
1.2.7.
1.2.8.
1.2.9.
1.2.10.

Вычислить 1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
1.3.5.
1.3.6.
1.3.7.
1.3.8.
1.3.9.
1.3.10.

1.4. Даны векторы Показать, что
Найти: a)б)
в)
г)
д)
е) угол между векторами

1.4.1.
1.4.2.
1.4.3.
1.4.4.
1.4.5.
1.4.6.
1.4.7.
1.4.8.
1.4.9.
1.4.10.

1.5. Даны точки Показать, что точки
Вычислить: а)объем пирамиды ;
б)длину ребра
в) площадь грани
г)угол между гранями
1.5.1.
1.5.2.
1.5.3.
1.5.4.
1.5.5.
1.5.6.
1.5.7.
1.5.8.
1.5.9.
1.5.10.

Контрольные вопросы к экзамену
Матрицы и действия над ними.
Обратная матрица.
Определители и их свойства, вычисление (на примере определителей третьего порядка).
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Решение систем линейных уравнений матричным методом.
Векторы, координаты вектора, модуль, направляющие косинусы.
Линейные операции над векторами.
Скалярное произведение векторов, свойства, вычисление, приложение к геометрическим задачам.
Векторное произведение векторов, свойства, вычисление, применение к геометрическим задачам.
Смешанное произведение векторов, свойства, вычисление, приложение к геометрическим задачам.