Главная страница
qrcode

Задания 8-11_Теория и алгоритм решения. Математика егэ 2014 (открытый банк заданий) Задания В8 Производная и первообразная функции


НазваниеМатематика егэ 2014 (открытый банк заданий) Задания В8 Производная и первообразная функции
Родительский файлZadania 8-11 Teoria i algoritm reshenia.zip
АнкорЗадания 8-11 Теория и алгоритм решения.zip
Дата31.03.2014
Размер1.88 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаЗадания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание
оригинальный pdf просмотр
ТипРеферат
#7138
страница1 из 11
Каталогid69782560
Полное содержание архива Задания 8-11_Теория и алгоритм решения.zip:
1. Задания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание 10 - Алгоритм решения.pdf
1203.73 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике
2. Задания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание 11 - Алгоритм решения.pdf
705.38 Кб.
Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В12 Задачи прикладного содержания
3. Задания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание 8 - Алгоритм решения.pdf
1924.46 Кб.
Математика егэ 2014 (открытый банк заданий) Задания В8 Производная и первообразная функции
4. Задания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание 9 - Алгоритм решения.pdf
592.72 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике

С этим файлом связано 44 файл(ов). Среди них: Zadania_8-11_Teoria_i_algoritm_reshenia.zip, Biologia_v_tablitsakh_i_skhemakh.pdf и ещё 34 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции 

 

25.12.2013. 

www.alexlarin.net

  



 

Математика ЕГЭ 2014 

(открытый банк заданий)





Задания В8 



Производная и первообразная функции 



Материалы подготовили: 

Корянов А.  Г. (г. Брянск); e-mail: 

akoryanov@mail.ru

 

Надежкина Н.В. (г. Иркутск); e-mail:  

nadezhkina@yahoo.com

 



 



СОДЕРЖАНИЕ 

 

Введение 



1.  Геометрический  смысл  производ-

ной 



2. Физический (механический) смысл 

производной 



3. График функции 



4. График производной функции 

26 

5. Первообразная функции 

47 

6. Дополнительные задачи 

53 

Решения заданий-прототипов 

62 

Ответы  

75 

Список и источники литературы 

76 

 

Элементы  содержания,  проверяе-

мые заданиями В8 по кодификатору:  

4.1. Производная. 

4.2. Исследование функции. 

4.3. Первообразная и интеграл. 

Проверяемые требования (умения) в 

заданиях В8 по кодификатору: 

3.1.  Определять  значение  функции  по 

значению  аргумента  при  различных  спо-

собах  задания  функции;  описывать  по 

графику  поведение  и  свойства  функций, 

находить  по  графику  функции  наиболь-

шие  и  наименьшие  значения;  строить 

графики изученных функций. 

3.2.  Вычислять  производные  и  перво-

образные элементарных функций. 

3.3.  Исследовать  в  простейших  случа-

ях  функции  на  монотонность,  находить 

наибольшие  и  наименьшие  значения 

функций. 



Введение

 

 

Данное  пособие  является  восьмым  в 

серии пособий для подготовки к части В 

ЕГЭ  по  математике  и  посвящено  реше-

нию задачи В8 (по нумерации ЕГЭ 2012-

2013  года) – так  называемой  «задачи  на 

производную  и  интеграл».  По  новой  ну-

мерации (ЕГЭ 2014) теперь это задача В9, 

которая входит в первую часть экзамена-

ционного  варианта.  Можно  сказать,  что 

теперь  это  самая  сложная  задача  из  не-

геометрических  задач  первой  части  экза-

мена. 

Средний  процент  правильных  ответов 

к  совершенно  «стандартной»  задаче  В8 

на  определение  углового  коэффициента 

касательной по ее графику – 64,8% (ЕГЭ 

2012).  Это  довольно  низкий  процент,  ес-

ли  учесть  то,  что  большинство  задач  В8 

(особенно  задачи  «с  графиками»)  либо 

решается  устно,  либо  для  их  решения 

требуется  короткая  цепочка  несложных 

вычислений.  Причины,  на  наш  взгляд, 

следующие. Во-первых, эта задача на ма-

териал курса алгебры и начал 10-11 клас-

сов,  для  освоения  которого  необходима 

достаточная  база  знаний  программы  ос-

новной  школы,  которой,  к  большому  со-

жалению,  нет  сейчас  у  многих  старше-

классников.  Во-вторых,  несмотря  на  не-

высокий уровень сложности самого зада-

ния,  спектр  проверки  понимания  темы 

«производная»  в  этом  задании,  к  приме-

ру, довольно широк – предлагаются и за-

дачи  на  геометрический  и  механический 

смысл производной, и задачи с множест-

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции 

 

25.12.2013. 

www.alexlarin.net

  



 

вом ситуаций, описывающих связь между 

поведением  функции  и  ее  производной. 

В-третьих,  для  решения  большинства  за-

дач  В8  требуется  не  просто  непосредст-

венно  применить  алгоритм  (что  можно 

сделать,  например,  при  решении  про-

стейших  уравнений),  а  самостоятельно 

проанализировать  ситуацию  и  сделать 

вывод.  Даже  в  случае  крайней  простоты 

анализа  все  это  требует  от  старшекласс-

ников  некоторых  усилий,  к  которым  не 

все готовы. 

Как же подготовить обычного старше-

классника  к  решению  любого  задания 

В8?  Один  из  эффективных  способов  со-

стоит  в  следующем.  После  полного  за-

вершения изучения темы «Производная и 

ее  применение»  можно  организовать  по-

вторение  в форме подготовки к решению 

задачи В8, предусмотрев на это несколь-

ко учебных часов. Необходимо повторить 

с краткой записью на доске и в тетрадях 

понятие  геометрического  смысла  произ-

водной,  условие  параллельности  двух 

прямых  и  решить  задачи 1.1.1-1.5.1, 

3.9.1.-3.14.1, 4.13.1-4.15.1 данного  посо-

бия с полным разбором и аккуратной за-

писью  решения.  Затем  повторить  с  крат-

кой записью на доске и в тетрадях поня-

тие механического (физического) смысла 

производной  и  решить  задачи 2.1.1-2.5.1 

данного  пособия,  также  с  полным  разбо-

ром  и  аккуратной  записью  решения.  По-

строить  на  доске  и  в  тетрадях  краткую 

таблицу  соответствия  между  поведением 

функции и поведением ее производной  

Функция  

( )

y

f x



Производная  

( )

y

f x







 

возрастает 

( ) 0

f x





 

убывает 

( ) 0

f x





 

имеет экстремум 

( ) 0

f x





, меняет 

знак 

имеет максимум 

( ) 0

f x





, меняет 

знак с «+» на «–» 

имеет минимум 

( ) 0

f x





, меняет 

знак с «–» на «+» 

и решить все оставшиеся задачи с графи-

ками  функции  и  производной  функции, 

кроме двух последних серий задач на од-

ном графике, при необходимости с неод-

нократной  ссылкой  на  эту  таблицу.  Ана-

логичные задачи (1.1.2-1.5.2 и т.д.) пред-

ложить  для  решения  дома.  На  следую-

щем  уроке  сверить  ответы,  разобрать 

ошибки  и  задать  еще  одно  домашнее  за-

дание – задачи 1.1.3-1.5.3 и  т.д.,  или  те 

самые две серии задач на одном графике.  

Задачи 5.1.1-5.4.1 можно  разобрать  ана-

логично  после  полного  изучения  темы 

«Первообразная и интеграл». 

После  повторения,  организованного  в 

такой  форме,  основные  подходы  к  реше-

нию  задач  В8  будут   ясны  для  большин-

ства  учащихся.  Как  показывает  репети-

торский  опыт  и  результаты  решения  за-

дания  В8  на  диагностических  работах  и 

реальном  ЕГЭ,  надежды  на  то,  что,  изу-

чив тему «Производная и ее применение» 

по школьному учебнику, учащиеся «сами 

догадаются»,  как  решить  любую  задачу 

В8,  чаще  всего  не  оправдываются.  Воз-

можно, и догадаются, но далеко не все и 

не факт, что любую задачу.  

Что  делать  в  плане  подготовки  к  ре-

шению  В8  со  слабо  мотивированными 

учащимися  с  крайне  низким  уровнем 

знаний?  На  первом  этапе  подготовки  к 

ЕГЭ  (до 8 верно  решенных  заданий  в 

произвольном  варианте) –  сосредото-

читься на других заданиях, допускающих 

решение по простым алгоритмам. Далее – 

разобрать  некоторые  простые  В8,  также 

допускающие  решение  по  алгоритмам 

(например,  нахождение  углового  коэф-

фициента  касательной  или  площади  тра-

пеции 

геометрическими 

методами). 

Только  при  наличии  времени  для  даль-

нейшей подготовки и ощутимом прогрес-

се  ученика  стоит  попробовать  научить 

его  анализу  ситуаций  с  графиками,  при-

чем  в  первое  время  с  непосредственной 

опорой  на  таблицу  соответствия  поведе-

ния функции и ее производной. 

В  качестве  практического  материала 

при  составлении  данного  пособия  авто-

рами  были  использованы  задачи  «от  со-

ставителей»  из  «открытого  банка  зада-

ний» [5], а  также  некоторые  избранные 

задачи    из  диагностических  и  трениро-

вочных работ МИОО и задачи из изданий 

«Типовых тестовых заданий» [2], [3].  

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции 

 

25.12.2013. 

www.alexlarin.net

  



 

Структура  пособия  такова,  что  задачи 

из  «открытого  банка  заданий»,  наряду  с 

фиксированным  номером  из  открытого 

банка  заданий  (он  расположен  в  скобках 

непосредственно  перед  текстом  задачи), 

имеют  также  собственную  тройную  ну-

мерацию  внутри  каждого  раздела.  Все 

типы задач из «открытого банка заданий» 

систематизированы  по  содержанию.  Ка-

ждый  тип  задачи  представлен  тремя  за-

дачами (первая из этих трех задач и есть 

прототип данного типа задач), что позво-

ляет  учащемуся  при  необходимости  не-

однократно  проверить  себя,  а  учителю -  

использовать  дополнительные  задания  в 

виде  отдельных,  уже  готовых  трех  вари-

антов  для  домашних  или  проверочных 

работ.  Таким  образом,  первое  число  в 

тройной  нумерации  каждой  задачи  озна-

чает номер раздела, второе число – номер 

типа задачи внутри раздела, третье число 

-  номер  задачи  внутри  типа  (или  номер 

варианта).  

Для  первых  задач  каждого  типа  пред-

ставлены  подробные  решения,  для  всех 

задач есть ответы. 

Мы  постарались  сделать  так,  чтобы 

пособие  было  полезно  и  для  ученика 

практически  любого  уровня  подготовки, 

и для учителя, и для репетитора. Ответы 

и  решения  задач-прототипов  представле-

ны  отдельно  для  того,  чтобы  в  конкрет-

ном  экземпляре  пособия  можно  было 

легко оставить только нужную форму от-

ветов  или  решений  для    проверки  либо 

самопроверки.  Например,  в  экземплярах 

пособий,  предлагаемых  для  уверенных  в 

своих силах учеников, можно вообще уб-

рать и ответы, и решения. Для менее уве-

ренных  в  своих  силах  учащихся  можно 

оставить 

только 

решения 

задач-

прототипов.  Для  учителя  и  репетитора 

необходимы как раз ответы ко всем зада-

чам  для упрощения  процесса  проверки  и 

оценки домашних и самостоятельных ра-

бот. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 































 



































Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции 

 

25.12.2013. 

www.alexlarin.net

  



 

1. Геометрический смысл производной 

 

Знание углового коэффициента касательной к графику функции позволяет ответить на 

некоторые вопросы при исследовании этой функции. 

 

 

 

●  Уравнение  касательной  (прямой)  имеет  вид 

y kx b



 ,  где 

k

 – угловой  коэффициент, 

который  характеризует  угол,  который  образует  прямая 

y kx b



   с  положительным  на-

правлением оси Ох. Если 

0

k



, то этот угол острый; если 

0

k



, то – тупой; если 

0

k



, то 

прямая параллельна оси Ох или совпадает с ней. 

● Значение производной функции 

( )

y

f x



 в точке 

0

 равно угловому коэффициенту ка-

сательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой 

0



k

x

f





)

(

0



Если производная функции 

( )

y

f x



 в точке 

0

 равна нулю, то касательная, проведен-

ная к графику этой функции в точке с абсциссой 

0

,  параллельна оси абсцисс или совпа-

дает с ней.  

● Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла наклона касательной с положи-

тельным направлением оси абсцисс 

tg

k







где 



 - угол наклона касательной. Отсюда 







tg

)

(

0

x

f



● Условия касания прямой 

b

kx

x

g





)

(

 и графика функции   

( )

f x  в точке с абсциссой 

0



0

0

0

( )

,

( )

( ).

f x

k

f x

g x













 

● Уравнение касательной к графику функции 

)

(x

f

y



 в точке с абсциссой 

0



 

  



0

0

0

x

x

x

f

x

f

y













Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В8. Производная и первообразная функции 

 

25.12.2013. 

www.alexlarin.net

  



 

● Две прямые, заданные уравнениями  

1

1

y k x b



  и 

2

2

y k x b



 , параллельны или совпа-

дают, если 

1

2

k

k

 . 

 

 

Пример 1. 

Найдите значение параметра, при котором прямая 

2

y

x b



  будет являться 

касательной к графику функции 

2

2

3

y x

x





 . 

Решение. 1-й способ. Используем условия касания прямой и графика данной функции в 

точке с абсциссой 

0



0

2

0

0

0

2

2 2,

2

3 2

.

x

x

x

x

b

 







 





 

0

2

2,

2

2 2 3 2 2

.

x

b







     



 

2,

1.

x

b





  



 

2-й способ. Так как касательная – предельное положение секущей, то для абсциссы точки 

касания квадратное уравнение 

2

2

3 2

x

x

x b



 

  или 

2

4

3

0

x

x

b



    должно иметь два 

совпадающих  корня.  Приравнивая  дискриминант  данного  квадратного  уравнения 

16 4(3

)

D

b





  к нулю, получаем 16 4(3

) 0

b



  , 

3

4

b

 



1

b

 



Ответ: –1. 

 

*** 
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

перейти в каталог файлов


связь с админом