Главная страница
qrcode

Задания 8-11_Теория и алгоритм решения. А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике


НазваниеА. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике
Родительский файлZadania 8-11 Teoria i algoritm reshenia.zip
АнкорЗадания 8-11 Теория и алгоритм решения.zip
Дата31.03.2014
Размер1.18 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаЗадания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#7138
Каталогid69782560
Полное содержание архива Задания 8-11_Теория и алгоритм решения.zip:
1. Задания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание 10 - Алгоритм решения.pdf
1203.73 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике
2. Задания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание 11 - Алгоритм решения.pdf
705.38 Кб.
Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В12 Задачи прикладного содержания
3. Задания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание 8 - Алгоритм решения.pdf
1924.46 Кб.
Математика егэ 2014 (открытый банк заданий) Задания В8 Производная и первообразная функции
4. Задания 8-11_Теория и алгоритм решения - Задание 9 - Алгоритм решения.pdf
592.72 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике

С этим файлом связано 44 файл(ов). Среди них: Zadania_8-11_Teoria_i_algoritm_reshenia.zip, Biologia_v_tablitsakh_i_skhemakh.pdf и ещё 34 файл(а).
Показать все связанные файлы

 

 

 

 

 

Подготовка к ЕГЭ по 

математике 

Теория для решения задач В11  

 

Открытый банк заданий ЕГЭ по 

математике  http://mathege.ru

 

 

2014

 

Наталья и Александр Крутицких 

www.matematikalegko.ru

 

01.01.2014 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

А.С. Крутицких  и   Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 



Что необходимо знать для решения заданий ? Это: 

1.

 

Формулы сокращѐнного умножения 

2.

 

Свойства показателей степени 

3.

 

Свойства корней 

4.

 

Основное логарифмическое тождество и свойства логарифмов 

5.

 

Основное  тригонометрическое  тождество  и  следствия  из  него; 

формулы тангенса, котангенса; синуса и косинуса суммы и разности 

двух аргументов, формулы синуса и косинуса двойного аргумента 

6.

 

Знаки тригонометрических функций 

7.

 

Чѐтность и нечѐтность тригонометрических функций 

8.

 

Периодичность тригонометрических функций 

9.

 

Значения тригонометрических функций 

10. Формулы приведения 

Необходимо  уметь  оперировать  действиями  с  дробями  (сокращение 

дроби,  нахождение  общего  знаменателя)  и  переводить  градусную  меру 

угла в радианную и наоборот. 

Итак, формулы сокращѐнного умножения: 

 

 

 

 

 

Степени и корни: 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

 

Нулевая степень любого числа равна единице. 

* * * 



Суть данного  свойства заключается в  том, что при  переносе числителя в 

знаменатель  и  наоборот,  знак  показателя  степени  меняется  на 

противоположный.  Например: 

 



                                                            * * * 



* * * 



При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание 

остаѐтся прежним, а показатели степеней складываются. 

* * * 



При  делении  степеней  с  одинаковыми  основаниями  основание  остаѐтся 

прежним, а показатели степеней вычитаются. 

* * * 



При  возведении  степени  в  степень  основание  остаѐтся  прежним,  а 

показатели перемножаются. 

* * * 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 



При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый 

множитель. 

* * * 



При возведении в степень дроби,  в эту степень возводится и числитель и 

знаменатель. 

* * * 

 

 

 

 

 

 

Логарифм 

Логарифмом  числа       по  основанию   называется  показатель  степени,  в 

который нужно возвести  , чтобы получить  

    

Например: 

 

 



Свойства логарифмов: 



 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 















Тригонометрические формулы 

 

 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

 

Знаки тригонометрических функций 

Построим  тригонометрическую  окружность;  радиус-вектор,  повернутый 

на  произвольный  угол  от  0  до  90  градусов;  обозначим  абсциссу  и 

ординату  точки  пересечения  радиус-вектора  и  единичной  окружности 

соответственно х и у: 

 

ОА – это радиус-вектор  

А – точка пересечения радиус-вектора и тригонометрической окружности 

α – угол, на который поворачивается радиус-вектор  

у – ордината точки А 

х – абсцисса точки А 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОВА, по определению синуса в 

прямоугольном треугольнике: 

 

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: 



Тангенс: 



Котангенс: 



Кстати, один из выводов: 

 

Так как выше мы получили: 

 

 

 

ЗНАЧИТ 

 

 



ЭТО ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО 

Понимание  «природы»  этой  формулы,  а  также  знание    информации, 

которую  даѐт  нам  тригонометрическая  окружность  определяет  ваш 

успех в разделе курса «Тригонометрия» .   

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

Определение  

Синусом  угла  α  называется  ордината  (координата  y)  точки  на 

тригонометрической  окружности,  которая  возникает  при  повороте 

радиус-вектора на угол α. 

Определение 

Косинусом  угла  α    называется  абсцисса  (координата  x)  точки  на 

тригонометрической  окружности,  которая  возникает  при  повороте 

радиус-вектора на угол α. 

Тангенс  угла  α  —  это  отношение  синуса  к  косинусу.  Или,  по-другому: 

отношение координаты  y  к координате  x

Предлагаем  запомнить: 

 

СИНУС ЭТО ОСЬ ОРДИНАТ 

КОСИНУС ЭТО ОСЬ АБСЦИСС 

(таких определений нет, это условный  «штамп», но  

в голове он быть должен) 

Определения  синуса,  косинуса и  тангенса  указанные выше  знакомы  из 

курса  алгебры  старших  классов.  А  теперь  следствия  из  них,  которые 

возникают на тригонометрической окружности: 

Значения синусов углов лежащих в первой и второй четверти  

положительны, а лежащих в третьей и четвёртой четверти 

отрицательны. 



Значения косинусов углов лежащих в первой и четвёртой четверти  

положительны, а лежащих во второй и третьей четверти 

отрицательны. 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

Знак тангенса  определяется просто, в каждой четверти определяем знак 

синуса и косинуса и делим синус на косинус по определению: 



Знак котангенса: 



При  делении  положительного  числа  на  положительное,  получаем 

положительное  число;  при  делении  положительного  числа  на 

отрицательное 

получаем 

отрицательное 

число. 

При 

делении 

отрицательного  числа  на  положительное,  получаем  отрицательное 

число;  при  делении  отрицательного  числа  на  отрицательное  получаем 

положительное  число.  Как  вы  поняли  знаки  тангенса  и  котангенса  во 

всех четвертях одинаковы. 

 

Чѐтность и нечѐтность тригонометрических функций 

Запомните как факт то, что функции: 

синус – нечѐтная     

 

косинус – чѐтная      

 

тангенс – нечѐтная     

 

котангенс – нечѐтная      

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

(для тех, кому этого факта недостаточно, загляните в курс алгебры            

«чѐтность-нечѐтность тригонометрических функций») 

Периодичность тригонометрических функций 

Суть понятия «периодичность функции» заключается в том, что значения 

функции  через  определѐнный  период  равны.  Тригонометрические 

функции:  синус,  косинус,  тангенс  и  котангенс  периодичны.  Период 

синуса    и    косинуса  равен 

,  тангенса  и  котангенса  равен 

.  Нагляднее  всего  это  можно  увидеть  по  графику.  Мы  покажем 

формальное выражение периодичности: 

 

 

 

 

 

Здесь  мы  использовали  ещѐ  и  формулу  приведения  (о  них  смотрите 

ниже). 

 

 

Таким  образом,  используя  свойство  периодичности  можно  значительно 

упрощать данные выражения, и производить дальнейшие вычисления. Не 

знание и не понимание, предоставленной в этом пособии теоретического 

материала  (и  вообще  данной  теории  из  курса  алгебры),  приведѐт  к 

невозможности решения нескольких заданий на ЕГЭ. 

Тригонометрические  уравнения  попадают  далеко  не  многим,  но 

неизвестно, какие изменения ожидает ЕГЭ  в будущем. 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

Значения тригонометрических функций 

Перед вами табличные значения 

 

которые необходимо выучить и помнить. 

 

 

Знание этих значений необходимо, это «азбука», без которой  невозможно 

будет справиться с множеством заданий. Отлично, если память хорошая, 

вы  легко  выучили  и  запомнили  эти  значения.  Что  делать,  если  этого 

сделать  не  получается,  в  голове  путаница,  да    просто  вы    именно  при 

сдаче  экзамена  сбились.  Обидно  будет  потерять  бал  из-за  того,  что  вы 

запишите при расчѐтах неверное значение. 

 

Предлагаем  алгоритм,  благодаря  которому  вы  легко,  в  течение  минуты 

восстановите в памяти все вышеуказанные значения: 

1.

 

Записываем в строчку углы от 0 до 90 градусов. 

 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

2.

 

Записываем слева в столбик синус и косинус аргумента: 

 

               

 

               

 

 

3.

 

Напротив синуса пишем числа от нуля до четырѐх (под значениями  

углов). Напротив косинуса от 4 до 0. 

 

              

 

              

   

 

4.

 

Далее извлекаем корень 

 

            

 

            

   

 

5.

 

Делим на 2 

                             

 

                 

 

                 

   

 

6.

 

Считаем 

                                 

 

                    

 

                    

   

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

Мы получили значения синуса и косинуса углов от 0 до 90 градусов.  

Тренируйтесь,  проработайте  данный  алгоритм  раз  семь,  процесс  займѐт 

минут десять.  

Далее, зная формулы тангенса и котангенса  



вы сможете найти значения всех  вышеуказанных углов. 

Например: 

 

И так для любого угла. 

Формулы приведения 



Вам  не  нужно  учить  таблицу  и  запоминать  эти  формулы.  Необходимо 

уяснить «закон», который здесь работает: 

1.

 

Необходимо определить знак функции в соответствующей четверти. 

2.

 

При 

   функция  изменяется  на  кофункцию  (синус  на 

косинус,  косинус  на  синус,  тангенс  на  котангенс,  котангенс  на 

тангенс) 

При 

 функция на кофункцию не изменяется. Всѐ.  

 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

Рассмотрим примеры: 

Пример 1:  

 

Косинус  в  первой  четверти  положителен,  меняем  функцию  на 

кофункцию. Значит   

 

 

Пример 2:   

 

Косинус  в  третьей  четверти  отрицателен,  меняем  функцию  на 

кофункцию. Значит  

 

 

Пример 3:   

 

Синус  в  третьей  четверти  отрицателен,  меняем  функцию  на  кофункцию. 

Значит  

 

 

Запишем формальный вид (все формулы приведения): 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

 

Перевод градусной меры угла в радианную и наоборот 

В  курсе  алгебры  углы  рассматриваются  в  двух  мерах  (есть  ещѐ  меры 

углов): градусах и радианах. Для тех, кто затрудняется легко оперировать 

этими  двумя  мерами  углов,  то  есть  легко  переводить  из  одной  меры  в 

другую,  производить  вычисления  в  обеих  мерах,  мы  рекомендуем  все 

вычисления производить в градусной мере (то есть  переводить  радианы, 

если  они  есть в  условии, в градусы). Здесь всѐ предельно просто, нужно 

уяснить  раз  и  на  всегда:   радиан  это  180  градусов,  то  есть  3,14  радиан 

это 180 градусов. 

Примеры перевода радианной меры в градусную, гогда в выражении угла 

имеется число Пи: 

 

 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

Если же  радианы заданы в целых, дробных числах либо целым числом  с 

дробной частью, тогда составляется пропорция. 

 

Примеры перевода градусной меры в радианную. 

Переведѐм 450, 300, 210 и 480 градусов. Составляем пропорции: 













Приведѐм таблицу соответствия радиан градусам  (от 0 до 360 градусов): 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru

 

Советуем  вам  распечатать  теорию,  предоставленную  выше  или  иметь 

перед  собой  справочник  формул.  Просмотра  и  понимания  теории 

недостаточно,  важна  практика.  Только  она  способна  закрепить  знания  в  

вашей способной голове. 











 

перейти в каталог файлов


связь с админом