Главная страница
qrcode

Задания 4-7_Теория и алгоритм решения. Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В5 Простейшие уравнения


НазваниеМатематика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В5 Простейшие уравнения
Родительский файлZadania 4-7 Teoria i algoritm reshenia.zip
АнкорЗадания 4-7 Теория и алгоритм решения.zip
Дата31.03.2014
Размер0.92 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаЗадания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание
оригинальный pdf просмотр
ТипРеферат
#7130
страница1 из 14
Каталогid69782560
Полное содержание архива Задания 4-7_Теория и алгоритм решения.zip:
1. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 4 - Алгоритм решения.pdf
879.72 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике
2. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 5 - Алгоритм решения.pdf
755.71 Кб.
Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В10 Элементы теории вероятностей
3. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 6 - Алгоритм решения.pdf
939.28 Кб.
Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В5 Простейшие уравнения
4. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 7 - Алгоритм решения.pdf
1504.6 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике

С этим файлом связано 44 файл(ов). Среди них: Zadania_8-11_Teoria_i_algoritm_reshenia.zip, Biologia_v_tablitsakh_i_skhemakh.pdf и ещё 34 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В5. Простейшие уравнения 

18.09.2013. 

www.alexlarin.net

 



Математика ЕГЭ 2014 

(система задач из открытого банка заданий)





Задания В5 



Простейшие уравнения 



Материалы подготовили: 

Корянов А. Г. (г. Брянск); e-mail: 

akoryanov@mail.ru

 

Надежкина Н.В. (г. Иркутск); e-mail: 

nadezhkina@yahoo.com

 



 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

Введение 



1. Линейные уравнения

 



2. Квадратные уравнения 



3. Уравнения высшей степени 



4. Дробно-рациональные уравнения 



5.Уравнения,  содержащие  перемен-

ную под знаком модуля 



6. Иррациональные уравнения

 

11 

7. Показательные уравнения 

15 

8. Логарифмические уравнения 

17 

9. Тригонометрические уравнения 

21 

10. Дополнительные задачи 

24 

Решения заданий-прототипов 

26 

Ответы  

32 

Список и источники литературы 

34 

 

Элементы  содержания,  проверяе-

мые заданиями В5 по кодификатору: 

2.1.1. Квадратные уравнения. 

2.1.2. Рациональные уравнения. 

2.1.3. Иррациональные уравнения. 

2.1.4. Тригонометрические уравнения. 

2.1.5. Показательные уравнения. 

2.1.6. Логарифмические уравнения. 

2.1.7. Равносильность уравнений. 

2.1.10.  Использование  свойств  и  гра-

фиков функций при решении уравнений. 

Проверяемые требования (умения) в 

заданиях В5 по кодификатору: 

2.1.  Решать  рациональные,  иррацио-

нальные,  показательные,  тригонометри-

ческие и логарифмические уравнения. 





Введение 



Данное  пособие  является  пятым  в  се-

рии  пособий  для  подготовки  к  части  В 

ЕГЭ  по  математике  и  посвящено  реше-

нию несложного задания В5 Единого го-

сударственного экзамена по математике.  

Для успешного решения этого задания 

необходимо  уметь  решать  простейшие 

рациональные,  иррациональные,  показа-

тельные,  логарифмические,  тригономет-

рические уравнения и помнить, что окон-

чательную проверку ответа сделать необ-

ходимо,  даже  если  сам  процесс  решения 

уравнения  показался  крайне  простым.  В 

2012  году  на  ЕГЭ  по  математике  анало-

гичное задание верно решили 79,5%  вы-

пускников.  То  есть  20,5%  выпускников 

по  разным  причинам  верного  ответа  не 

получили.  В  то  же  время  следует  заме-

тить,  что  потеря  балла  при    решении  за-

дания  В5  критична  для  слабого  ученика 

(обычно это задание включают в  «самый 

необходимый  минимум»  подготовки  на 

уровне «только чтобы сдать») и неприят-

на для сильного ученика (чтобы «восста-

новить»  этот  потерянный  балл,    нужно 

безукоризненно  решить,  например,  три-

гонометрическое уравнение в С1 или по-

казательное/логарифмическое  неравенст-

во  в  С3,  что  несравнимо  сложнее,  чем 

решить простейшее уравнение в В5). 

Таким  образом,  к  безукоризненному 

решению  задания  В5  учащихся  необхо-

димо подготовить.  В качестве материала 

для подготовки к решению данного зада-

ния, на наш взгляд, логично и эффектив-

но использование стройной и репрезента-

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В5. Простейшие уравнения 

18.09.2013. 

www.alexlarin.net

 



тивной  системы  заданий  на  основе  «от-

крытого  банка  заданий»  [4].  Данное  по-

собие предлагает, на наш взгляд, именно 

такую систему заданий. 

Чтобы  пособие  получилось  по  содер-

жанию более полным, в него были добав-

лены  некоторые  типы  уравнений,  кото-

рые не представлены в  «открытом банке 

заданий».  По  мнению  авторов,  эти  до-

полнительные  задания  помогут  сильным 

учащимся  лучше  подготовиться  к  реше-

нию задач части С. По этим же причинам 

был  выделен  раздел  «Уравнения,  содер-

жащие переменную под знаком модуля». 

Структура  пособия  такова,  что  все 

уравнения,  наряду  с  фиксированным  но-

мером  из  открытого  банка  заданий  (он 

расположен  в  скобках  непосредственно 

перед текстом задачи), имеют также соб-

ственную  тройную  нумерацию  внутри 

пособия. Все типы уравнений системати-

зированы по содержанию и  разделены на 

девять  разделов.  Каждый  тип  уравнений 

представлен  пятью  уравнениями  (первое 

из  этих  пяти  уравнений  и  есть  прототип 

данного  типа  заданий),  что  позволяет 

учащемуся  при  необходимости  неодно-

кратно  проверить  себя,  а  учителю  –    ис-

пользовать  дополнительные  задания  в 

виде  отдельных,  уже  готовых  пяти  вари-

антов  для  домашних  или  проверочных 

работ.  Таким  образом,  первое  число  в 

тройной  нумерации  каждого  уравнения 

означает  номер  раздела,  второе  число  – 

номер  типа  уравнения  внутри  этого  раз-

дела,  третье  число  –    номер  уравнения 

внутри  типа  (или  номер  варианта).  Для 

первых  уравнений  каждого  типа  (прото-

типов)  представлены  подробные  реше-

ния, для всех уравнений есть ответы. 

Мы  постарались  сделать  так,  чтобы 

пособие  было  полезно  и  для  ученика 

практически  любого  уровня  подготовки, 

и для  учителя, и для  репетитора. Ответы 

и решения заданий-прототипов представ-

лены в конце пособия отдельно для того, 

чтобы  в  конкретном  экземпляре  пособия 

можно  было  легко  оставить  только  нуж-

ную  форму  ответов  или  решений  для  

проверки  либо  самопроверки.  Например, 

в  экземплярах  пособий,  предлагаемых 

для  уверенных  в  своих  силах  учеников, 

можно  вообще  убрать  и  ответы,  и  реше-

ния.  Для менее  уверенных в своих силах 

учащихся  можно  оставить  только  реше-

ния  уравнений-прототипов.  Для  учителя 

и репетитора необходимы как раз ответы 

ко  всем  уравнениям  для  упрощения  про-

цесса проверки и оценки домашних и са-

мостоятельных работ. 

 

1. Линейные уравнения 



Линейное уравнение с одной неизвест-

ной 

x

  имеет  вид 

0

ax b

 

  (

0

a



)    и 

приводится  к  виду    ax

b

 

.  Последнее 

уравнение имеет корень 

b

x

a







Пример 

1. 

Решить 

уравнение 

5(

4)

3 2

x

x



 



Решение.  Преобразуем  данное  уравне-

ние: 

5

20

3 2 ;

x

x



 

 

5

2

3 20;

x

x



 

 

7

17;

x

 

 

17

;

7

x





 

3

2 .

7

x

 

 

Ответ

3

2 .

7



 

 



 

1.1.1.(прототип 26662)  Найдите корень 

уравнения:

7

3

7

7

4



x



1.1.2.(9705)  Найдите корень уравнения: 

3

2

18

3

2



x



1.1.3.(10053)  Найдите корень уравнения: 

2

1

4

8

3







x

.  

1.1.4.(10139)  Найдите корень уравнения: 

4

3

3

8

5







x



1.1.5.(10143)  Найдите корень уравнения: 

6

1

4

6

5







x

.  

 

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В5. Простейшие уравнения 

18.09.2013. 

www.alexlarin.net

 







1.2.1.(прототип 26663)  Найдите корень 

уравнения:

9

1

1

9

2





x



1.2.2.(9661)  Найдите корень уравнения: 

5

3

3

5

2





x

.  

1.2.3.(9627)  Найдите корень уравнения: 

4

3

13

8

5





x



1.2.4.(9845) Найдите корень уравнения: 

2

1

7

8

3





x



1.2.5.(10063)  Найдите корень уравнения: 

9

8

17

9

7





x

.  

 

2. Квадратные уравнения 



Квадратным  уравнением  называется 

уравнение  вида 

2

0

ax

bx

c



 

,  где  

, ,

a b c

  –  произвольные  действительные 

числа, причем 

0

a





Для  нахождения  корней  квадратного 

уравнения  обычно  используют  формулу  

1,2

2

b

D

x

a

 





где 

дискриминант 

2

4

D

b

ac







Если 

0

D



,  то  квадратное  уравнение 

имеет  два  различных  действительных 

корня 

2

b

D

a

 

  и 

2

b

D

a

 

.  Если 

0

D





то  квадратное  уравнение  имеет  кратный 

(двойной)  действительный  корень 

2

b

a





Если  

0

D



, то квадратное уравнение не 

имеет действительных корней. 

Общая  формула  упрощается  в  случае, 

когда  коэффициент    имеет  вид  2

Корни 

квадратного 

уравнения 

2

2

0

ax

kx

c



 

  можно  находить  по  фор-

муле 

2

1,2

k

k

ac

x

a

 







Любое  квадратное  уравнение  можно 

решить  по  общей  формуле,  но  иногда 

применяют  быстрые  способы  отыскания 

корней. Например, неполные квадратные 

уравнения  обычно  решаются  методом 

разложения  на  множители  левой  части 

уравнения. 

Теорема Виета. Сумма корней приве-

денного 

квадратного 

уравнения 

2

0

x

px

q



 

  равна  второму  коэффици-

енту,  взятому  с  противоположным  зна-

ком,  а  произведение  корней  равно  сво-

бодному члену: 

1

2

,

x

x

p



 

1 2

.

x x

q



 

Теорема,  обратная  теореме  Виета. 

Если числа  ,

m n   таковы,  что 

,

m n

p

  

,

m n

q

 

 то эти числа – корни уравнения 

2

0

x

px

q



 



Для  квадратного  уравнения  с  целыми 

коэффициентами  иногда  находят  один 

целый  корень,  а  второй  корень  находят 

по  теореме  Виета.  Для  поиска  целого 

корня  испытывают  целые  делители  сво-

бодного члена. 

Если уравнение имеет дробные корни, 

то  используют  свойства  коэффициентов 

или метод «перекидывания». 

Свойства  коэффициентов.  1.  Пусть 

для 

квадратного 

уравнения 

2

0

ax

bx

c



 

  (

0

a



)  выполняется  ра-

венство 

0

a b c

  

,  тогда  уравнение 

имеет корни 

1

1

x



 и 

2

c

x

a





2.  Пусть  для  квадратного  уравнения 

2

0

ax

bx

c



 

  (

0

a



)  выполняется  ра-

венство 

0

a b c

  

  или 

a c

b

 

,  тогда 

уравнение  имеет  корни 

1

1

x

 

 

и 

2

.

c

x

a

 

 

Пример 2. Решить уравнения:  

а) 

2

9;

x



б)

2

0;

x



в)

2

9;

x

 

г)

2

3;

x



 

д)

0

2

3

2





x

е)

0

81

100

2





x



Решение.  а)  Так  как 

9

0,



  то  данное 

уравнение имеет два корня  

9

x

 

 или  

3

x

 

.  

б) Данное уравнение имеет единствен-

ный корень  

0.

x



 

в) Так как 

9

0,

 

 то исходное уравне-

ние не имеет действительных корней.  

г) Уравнение имеет два корня 

3.

x

 

 

д)  Так  как  левая  часть  равнения  при-

нимает  только  положительные  значения 

при  x R



,  а  правая  часть  –  равна  нулю, 

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В5. Простейшие уравнения 

18.09.2013. 

www.alexlarin.net

 



то  данное  уравнение  не  имеет  действи-

тельных корней. 

е) Преобразуем данное уравнение 

2

100

81;

x



2

81

;

100

x



9

;

10

x

 

0,9.

x

 

 
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

перейти в каталог файлов


связь с админом