ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ (ДИХОТОМИИ)
Доценко А.А., Майкин Д.А.
Донской государственный технический университет (ДГТУ)
Ростов-на-Дону, Россия
CALCULATION OF THE COEFFICIENT OF HYDRAULIC RESISTANCE BY THE METHOD OF HALF PASSION (DICHOTOMY)
Dotsenko A.A., Maikin D.A.
Don State Technical University (DGTU)
Rostov-on-Don, Russia
Особую роль в экономике нашей страны играет топливно энергетический комплекс, и главной его частью являются нефтяной и газовый сектора. Они представляют собой основу российского экспорта. Но главной задачей ТЭК является снабжение энергетическим сырьем всех остальных отраслей промышленности, обеспечение их работоспособности и развития. Эти аспекты позволяют нам судить о важности нефтегазового комплекса, как в экономической, так и в производственной сфере.
К сожалению, в последнее время все чаще поднимается проблема увеличения себестоимости добычи нефти и газа. Исходя из этого, стала необходимой транспортировка большего количества сырья с наименьшими энергетическими потерями. Нахождение гидравлического сопротивления играет немаловажную роль при решении данной задачи, так как именно гидравлическое сопротивление представляет собой потери энергии, которые преобразуются в тепловую энергию, при вязком трении на участках гидравлических систем.
Что бы увидеть каковы потери, нам необходимо определить коэффициент гидравлического сопротивления, который зависит от характера течения жидкости в трубе и материала трубы. С появлением вычислительной техники данный коэффициент можно найти, применяя различные численные методы.
Рассмотрим универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения, который имеет вид:
где
λ – коэффициент гидравлического сопротивления.
Исходя из этого закона, вычислим коэффициент гидравлического сопротивления методом половинного деления или дихотомии с точностью
Представим универсальный закон сопротивления в виде нелинейного уравнения с одной переменной При решении уравнений одного аргумента данным методом изначально необходимо отделить все корни уравнения.
Выполним графическое отделение корней с помощью программы Mathcad (см. рис. 1). Корнем данного уравнения является абсцисса точки пересечения графика функции с осью Ох.
Рис. 1 – График функции Из графика видно, что искомый корень лежит на интервале [0,01; 0,028]
Убедимся, что интервале только один корень. Для этого проверим выполнение двух необходимых условия:
1.) На концах интервала функция имеет значения разных знаков: Исходя из полученных результатов видим, что концах интервала функция имеет разные знаки, а значит первое условие выполняется.
2.) Проверим выполнения второго условия. Убедимся, что функция монотонна на заданном интервале. Для этого построим график производной для этой функции в программе Mathcad (см. рис. 2).
Рис. 2 – График производной
Т.к. график производной лежит выше оси Ох, то первая производная положительна, значит функция монотонно возрастает на интервале [0,01; 0,028], следовательно, второе условие выполняется.
Принцип метода дихотомии заключается в том, что после нахождения интервала изоляции, мы точкой Обозначим концы интервала буквами Но возможен случай, когда функция в точке
Рис. 3 – Блок-схема метода дихотомии Решение выполнено в программе Mathcad (см. рис. 4, а, б).
а.)
б.)
Рис. 4 – Вычисление гидравлического сопротивления при помощи пакета Mahtcad
Уточним отделенный корень методом дихотомии до заданной точности Алгоритм программы Pascal представлен ниже (см. рис.5):
Рис. 5 – Метод дихотомии со счетчиком
При подстановке в программу значений на концах интервала и заданной точности, получим гидравлическое сопротивление:
Как известно, коэффициент гидравлического сопротивления зависит от характера течения и материала трубы, поэтому будем менять параметры числа Рейнольдса и шероховатости стенок трубы, посмотрим меняются ли значения Таблица 1. № Re ελ 1. 0,01762890625 2. 0,02037109375 3. 0,02416796875 4. 104 0,02796484375 5. 105 0,01966796875 Исследуем зависимость гидравлического сопротивления отдельно от значений числа Рейнольдса и от шероховатости поверхности.
Сделаем постоянным число Рейнольдса. Будем полагать, что оно равно 100000. Изменим шероховатость поверхности. Результаты представлены в таблице 2.
Таблица 2.
№ ελ 1. 0,01833203125 2. 0,01924609375 3. 0,01966796875 4. 0,02001953125 5. 0,02037109375
Из таблицы 2 видно, что при увеличении шероховатости увеличивается коэффициент гидравлического сопротивления. На рисунке 6 представлен график зависимости λ от ε
Рис. 6 – График функции Теперь будем изменять значения числа Рейнольдса, полагая, что коэффициент шероховатости будет постоянным и равен 0,0005. Результаты представлены в таблице 3.
Таблица 3 № Re λ 1. 0,01706640625 2. 0,01966796875 3. 0,02487109375 4. 104 0,02796484375 Из полученных результатов в таблице 3 видно, что при уменьшении числа Рейнольдса, коэффициент гидравлического сопротивления увеличивается.
На рисунке 7 представлен график зависимости λ от Re.
Рис.7 – График функции Таким образом из выполненного исследования видно, что, если нам нужно уменьшить коэффициент гидравлического сопротивления, то необходимо увеличить число Рейнольдса и уменьшить шероховатость внутренней стенки.
Литература Лурье М.В. Математическое моделирование процессов трубопроводного транспорта нефти, нефтепродуктов и газа. – Москва: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2012. Демидович В.М., Марон Б.В. Численные методы вычислительной математики. – М.: Высшая школа, 1962. Герасименко Е.Ю., Растеряев Н.В., Герасименко Ю.Я., Скакунова Т.П. Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений в задачах АПП НГК. – Ростов-на-Дону: ИЭ и М ДГТУ, 2011.
|