Главная страница
qrcode

Лекция (2). Тема Механика вращательного движения


Скачать 325.5 Kb.
НазваниеТема Механика вращательного движения
АнкорЛекция (2).doc
Дата18.11.2017
Размер325.5 Kb.
Формат файлаdoc
Имя файлаЛекция (2).doc
ТипДокументы
#28544
Каталогid329952405

С этим файлом связано 27 файл(ов). Среди них: Lektsia_9_po_VND.docx, Лекция (2).doc, Lektsia_6_-_krovoobraschenie.docx, Lektsia_6_po_TsNS.docx, EKG_dlya_vracha__Syrkin_A_L.pdf, Лекция (1).doc, Dykhanie.docx, Lektsia_5_po_TsNS.docx, Uchebnoe_posobie_po_rasshifrovke_EKG.pdf, Лекция 6.регуляция эксп..doc и ещё 17 файл(а).
Показать все связанные файлы

тема: «Механика вращательного движения»



План

2.1 Угловая скорость и угловое ускорение.

2.2 Момент инерции.

2.3 Кинетическая энергия вращения.

2.4 Момент силы. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела.


2.5 Момент импульса и закон его сохранения.

Литература

2.1 Угловая скорость и угловое ускорение
Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R(рис. 1). Ее положение через промежуток времени t зададим углом D. Элементарные (бесконечно малые) повороты можно рассматривать как векторы (они обозначаются или ). Модуль вектора равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу правого винта (рис. 1). Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:



Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, то есть так же, как и вектор (рис. 2).


Рис. 1 Рис. 2
Линейная скорость точки


то есть


Если  =const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е поворачивается на угол 2. Так как промежутку времени Dt = Т соответствует D = 2, то  = 2/Т,откуда

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:


откуда


Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:



Тангенциальная составляющая ускорения
и

Нормальная составляющая ускорения



При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор сонаправлен вектору (рис. 3), при замедленном — противонаправлен ему (рис. 4).


Рис. 3 Рис. 4
Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение а, нормальное ускорение аn) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ) выражается следующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (—const)

где 0 — начальная угловая скорость.

2.2 Момент инерции



При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс т материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:


В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу


где интегрирование производится по всему объему тела. Величина rв этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z.

Рис. 5
В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой hи радиусом Rотносительно его геометрической оси

(рис 5). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины drсвнутренним радиусом rи внешним r+dr.Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r2dm(так как dr << r, то считаем, что расстояние всех точек цилиндра от оси равно г), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2rhdr. Если — плотность материала, то dm = 2rhdr и dJ = 2hr3dr.Тогда момент инерции сплошного цилиндра


но так как R2h— объем цилиндра, то его масса m = R2h, а момент инерции:



Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела Jотносительно произвольной оси равен моменту его инерции Jcотносительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:
(1)

В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Таблица 1


Тело

Положение оси

Момент инерции

Полый тонкостенный цилиндр радиусом R

Сплошной цилиндр или диск

радиусом R

Прямой тонкий стержень длиной l
Прямой тонкий стержень длиной l
Шар радиусом R

Ось симметрии
Тоже
Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину

Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец

Ось проходит через центр шара

тR2
1/2тR2
1/12ml2
1/3ml2
2/5тR2


2.3 Кинетическая энергия вращения



Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него (рис. 6). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами т1, т2, ..., тn, находящиеся на расстоянии гь г2,..., гn от оси.

При вращении твердого тела относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами miопишут окружности различных радиусов ri и имеют различные линейные скорости vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое тело, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

(2)

Рис. 6
Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов:
или




Используя выражение (2), получаем



где Jz— момент инерции тела относительно оси z. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

(3)
Из сравнения формулы (3) с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (E= mv2/2), следует, что момент инерции — мера инертности тела при вращательном движении. Формула (3) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклон ной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:


где т — масса катящегося тела; vcскорость центра масс тела; Jc— момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс;  — угловая скорость тела.

2.4 Момент силы. Уравнение динамики

вращательного движения твердого тела



Моментом силы F относительно неподвижной точки Оназывается физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 7):
М = [rF].
Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F.



Рис. 7.
Модуль момента силы


где  — угол между г и F; rsin = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О— плечо силы.



Рис. 8
Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Мz, равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z(рис. 8). Значение момента Мгне зависит от выбора положения точки О на оси z.

Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:
Mz = [rF]z.
Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 9). Пусть сила F приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии г,  — угол между направлением силы и радиусом-вектором г. Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на бесконечно малый угол dточка приложения В проходит путь ds=rdи работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:





Рис. 9
Учитывая M = Frsin= Fl, можем записать


где — момент силы относительно оси z. Таким образом, работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота. Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: dA = dT, но поэтому или

Учитывая, что , получаем
(4)

Уравнение (4) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Можно показать, что если ось z совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство
(5)

где J— главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

2.5 Момент импульса и закон его сохранения



При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы «выступает» ее момент, роль массы «играет» момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:


где г — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p = mv — импульс материальной точки (рис. 10); L — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от г к р. Модуль вектора момента импульса
L = rpsinα =mνrsinα = pl,

где  — угол между векторами г и р, l — плечо вектора р относительно точки О.

Рис. 10

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси. Момент импульса L, не зависит от положения точки О на оси г.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси zкаждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса гi с некоторой скоростью vi. Скорость vi и импульс mivi перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора mivi. Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен
(5)
и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:



Используя формулу (2) vi = ri, получим
то есть
(6)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцируем уравнение (6) по времени:

то есть

Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство

(7)

В замкнутой системе момент внешних сил М = 0 и , откуда

L=const. (8)
Выражение (8) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы от счета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохранения момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, и держащий в вытянутых руках гантели (рис. 11), приведен во вращение с угловой скоростью . Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется, и угловая скорость вращения 2 возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.



Рис. 11

Литература


  1. А.Н. Ремизов медицинская и биологическая физика 1999 год

  2. Р.И. Грабовский курс физики 1974 год

  3. Трофимова Т.И. курс физики, 1997г






перейти в каталог файлов


связь с админом