Главная страница

Задача Решить неравенство log x 2


Скачать 201.77 Kb.
НазваниеЗадача Решить неравенство log x 2
АнкорMetod_ratsionalizatsii.pdf
Дата13.01.2017
Размер201.77 Kb.
Формат файлаpdf
Имя файлаMetod_ratsionalizatsii.pdf
оригинальный pdf просмотр
ТипЗадача
#4620
Каталогvarvarama

С этим файлом связано 43 файл(ов). Среди них: Bazy_dannykh_i_sistemy_upravlenia_bazami_dannykh.pdf, Внутренняя среда организма.doc, it_k_r-9kl.doc, Khimia_8_-_11_klassy_Shkolny_repetitor_Nekrashevich_I_V_2008_-30, BI_DEMO_2012.pdf, Russkiy_yazyk.pdf, Johnyboy_-_04_Spuskayus_na_zemlyu.mp3, Ivan_Turgenev_-_Ottsy_i_deti.doc, Fizika_-_Praktikum_2014.zip и ещё 33 файл(а).
Показать все связанные файлы

И. В. Яковлев
|
Материалы по математике
|
MathUs.ru
Метод рационализации
Метод рационализации — это весьма мощная процедура, позволяющая в определённых слу- чаях упростить неравенство и свести его к рациональному неравенству (которое решается ме- тодом интервалов).
Предположим, что имеется монотонно возрастающая функция f (x). Пусть числа a и b при- надлежат области определения данной функции. Тогда справедливы следующие утверждения.
• Неравенство f (a) > f (b) эквивалентно неравенству a > b; иными словами, неравенство f (a) − f (b) > 0 эквивалентно неравенству a − b > 0.
• Аналогично, неравенство f (a) − f (b) < 0 эквивалентно неравенству a − b < 0.
Сформулируем оба этих утверждения короче: если f (x) — монотонно возрастающая функ- ция, то разность f (a) − f (b) совпадает по знаку с разностью a − b.
Как работает эта идея применительно к решению неравенств? Пусть, например, имеется неравенство f (x) − f (a)
g(x) − g(b)
> 0,
(1)
где f (x) и g(x) — монотонно возрастающие функции. Тогда разность f (x)−f (a) можно заменить разностью x − a (того же знака), а разность g(x) − g(b) можно заменить разностью x − b (того же знака). Получим рациональное неравенство x − a x − b
> 0,
(2)
решаемое методом интервалов.
При этом неравенство (
2
) является следствием неравенства (
1
). Это означает, что нера- венство (
2
) содержит все решения неравенства (
1
) и, возможно, некоторые другие решения.
Чтобы отфильтровать лишние решения, нужно множество решений неравенства (
2
) пересечь с областью определения функций f (x) и g(x).
Давайте рассматривать конкретные задачи — они дадут лучшее представление о том, как нужно применять метод рационализации. Начнём с задачи, разобранной в конце предыдущей статьи «
Логарифмические уравнения и неравенства
».
Задача 1. Решить неравенство:
log x
2
(x + 2) < 1.
(3)
Решение. Перейдём в неравенстве (
3
) к какому-нибудь постоянному основанию. Например, к основанию 10:
lg(x + 2)
lg x
2
< 1.
Чтобы применить метод рационализации, нам в правой части необходим нуль. Переносим единицу влево:
lg(x + 2)
lg x
2
− 1 < 0,
или lg(x + 2) − lg x
2
lg x
2
< 0.
1

В числителе получилась разность логарифмов — это как раз то, что нам нужно. Не хватает разности логарифмов в знаменателе. Но такую разность мы легко организуем:
lg x
2
= lg x
2
− 0 = lg x
2
− lg 1.
Таким образом, наше неравенство принимает вид:
lg(x + 2) − lg x
2
lg x
2
− lg 1
< 0.
(4)
До сих пор мы совершали равносильные преобразования, так что неравенство (
4
) равно- сильно исходному неравенству (
3
).
Теперь мы замечаем, что в силу монотонного возрастания функции y = lg x числитель совпадает по знаку с разностью (x + 2) − x
2
, а знаменатель совпадает по знаку с разностью x
2
− 1. Поэтому неравенство (
4
) равносильно системе:









x + 2 − x
2
x
2
− 1
< 0,
x + 2 > 0,
x
2
> 0.
(5)
Преобразуем первое неравенство системы (
5
):
(x + 1)(x − 2)
(x + 1)(x − 1)
> 0,
и решаем его методом интервалов:
x < −1,
−1 < x < 1,
x > 2.
(6)
Решения второго и третьего неравенств системы (
5
) — это множество
− 2 < x < 0,
x > 0.
(7)
Остаётся пересечь множества (
6
) и (
7
).
Ответ: (−2; −1) ∪ (−1; 0) ∪ (0; 1) ∪ (2; +∞).
Как видите, метод рационализации избавляет нас от необходимости рассматривать два слу- чая (основание логарифма больше/меньше единицы). И чем сложнее неравенство, тем более ощутимыми становятся преимущества метода рационализации.
Задача 2. (МГУ, мехмат, 1998 ) Решить неравенство:
log
2x+2 5x−1
(10x
2
+ x − 2)
0.
(8)
Решение. Переходим к основанию 10:
lg(10x
2
+ x − 2)
lg
2x+2 5x−1 0.
Вычитаем в числителе и знаменателе lg 1 = 0:
lg(10x
2
+ x − 2) − lg 1
lg
2x+2 5x−1
− lg 1 0.
(9)
2

Неравенство (
9
) равносильно исходному неравенству (
8
). Вместе с тем ввиду монотонного возрастания функции y = lg x неравенство (
9
) равносильно системе:













(10x
2
+ x − 2) − 1 2x+2 5x−1
− 1 0,
10x
2
+ x − 2 > 0,
2x + 2 5x − 1
> 0.
(10)
Преобразуем первое неравенство системы (
10
):
10x
2
+ x − 3 3−3x
5x−1 0

10 x −
1 2
x +
3 5
3(x−1)
5x−1 0,
и решаем его методом интервалов:
x

3 5
,
1 5
< x
1 2
,
x > 1.
(11)
Решения второго неравенства системы (
10
):
x < −
1 2
,
x >
2 5
(12)
Решения третьего неравенства системы (
10
):
x < −1,
x >
1 5
(13)
Остаётся пересечь множества (
11
), (
12
) и (
13
).
Ответ: (−∞; −1) ∪
2 5
;
1 2
∪ (1; +∞).
В рассмотренной задаче метод рационализации весьма серьёзно выигрывает в эффективно- сти. Попробуйте решить данное неравенство, рассматривая два случая сравнения с единицей основания логарифма, — и сравните объём проделанной работы.
Метод рационализации можно применять не только к логарифмическим неравенствам.
Задача 3. (МГУ, ДВИ, 2011 ) Решить неравенство:

1 − 3x − 1

2 + x − 1
< 1.
Решение. Для начала выполним равносильные преобразования:

1 − 3x − 1

2 + x − 1
− 1 < 0


1 − 3x −

2 + x

2 + x − 1
< 0.
Вследствие монотонного возрастания функции y =

x полученное неравенство равносильно системе:









(1 − 3x) − (2 + x)
(2 + x) − 1
< 0,
1 − 3x
0,
2 + x
0,
3
или











4x + 1
x + 1
> 0,
x
1 3
,
x
−2.
Эта система решается легко.
Ответ: [−2; −1) ∪ −
1 4
;
1 3
Задача 4. (МГУ, мехмат, 2005 ) Решить неравенство:
3 − x −

5 − x
2
cos
2x−7 4
− cos x−5 4
0.
(14)
Решение. Заметим, что функция y = cos x монотонно возрастает на отрезке [−π; 0] (рис.
1
).
Этот факт пригодится нам при решении задачи.
X
Y
−π
0
Рис. 1. График функции y = cos x
Решения уравнения (
14
) удовлетворяют условию 5 − x
2 0, то есть


5
x

5 .
(15)
Для аргумента первого косинуса в знаменателе (
14
) имеем тогда следующую оценку:
−2

5 − 7 4
2x − 7 4
2

5 − 7 4
Замечаем, что:
−2

5 − 7 4
=


20 − 7 4
>


25 − 7 4
=
−5 − 7 4
= −3 > −π;
2

5 − 7 4
=

20 −

49 4
< 0.
Таким образом, из неравенства (
15
) следует неравенство
− π <
2x − 7 4
< 0.
(16)
Получим аналогичную оценку для аргумента второго косинуса. Из (
15
) следует, что


5 − 5 4
x − 5 4

5 − 5 4
4

С одной стороны,


5 − 5 4
>
−3 − 5 4
= −2 > −π.
С другой стороны,

5 − 5 4
< 0.
Следовательно,
− π <
x − 5 4
< 0.
(17)
Ввиду оценок (
16
), (
17
) и монотонного возрастания косинуса на отрезке [−π; 0] исходное неравенство (
14
) равносильно неравенству
3 − x −

5 − x
2 2x−7 4

x−5 4
0,
то есть
3 − x −

5 − x
2
x − 2 0.
Заметим ещё, что в силу (
15
) имеем:
3 − x +

5 − x
2 3 − x
3 −

5 > 0.
Это позволяет использовать для упрощения неравенства полезный приём: «домножим на сопряжённое», то есть умножим числитель и знаменатель на 3 − x +

5 − x
2
. Получим цепочку равносильных преобразований:
3 − x −

5 − x
2 3 − x +

5 − x
2
(x − 2) 3 − x +

5 − x
2 0

(3 − x)
2
− (5 − x
2
)
(x − 2) 3 − x +

5 − x
2 0


2x
2
− 6x + 4
(x − 2) 3 − x +

5 − x
2 0

x
2
− 3x + 2
x − 2 0
(заключительный переход совершён на множестве (
15
) и обусловлен положительностью выра- жения 3 − x +

5 − x
2
на этом множестве). Последнее неравенство приводится к виду
(x − 1)(x − 2)
x − 2 0
и легко решается методом интервалов:
1
x < 2,
x > 2.
(18)
Остаётся пересечь множество (
18
) с множеством (
15
).
Ответ: [1; 2) ∪ 2;

5 .
В следующей статье «
Задача С3 на ЕГЭ по математике
» вы найдёте дальнейшие применения метода рационализации.
5

перейти в каталог файлов
связь с админом