Главная страница
qrcode

Задания 4-7_Теория и алгоритм решения. А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике


НазваниеА. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике
Родительский файлZadania 4-7 Teoria i algoritm reshenia.zip
АнкорЗадания 4-7 Теория и алгоритм решения.zip
Дата31.03.2014
Размер1.47 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаЗадания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание
оригинальный pdf просмотр
ТипДокументы
#7130
Каталогid69782560
Полное содержание архива Задания 4-7_Теория и алгоритм решения.zip:
1. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 4 - Алгоритм решения.pdf
879.72 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике
2. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 5 - Алгоритм решения.pdf
755.71 Кб.
Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В10 Элементы теории вероятностей
3. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 6 - Алгоритм решения.pdf
939.28 Кб.
Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В5 Простейшие уравнения
4. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 7 - Алгоритм решения.pdf
1504.6 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике

С этим файлом связано 44 файл(ов). Среди них: Zadania_8-11_Teoria_i_algoritm_reshenia.zip, Biologia_v_tablitsakh_i_skhemakh.pdf и ещё 34 файл(а).
Показать все связанные файлы

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

 

 

 

 

Подготовка к ЕГЭ по 

математике 

Теория для решения задач В8

 

 

Открытый банк заданий ЕГЭ по 

математике   http://mathege.ru

 

 

2014

 

Александр  и  Наталья  Крутицких 

 

www.matematikalegko.ru

 

01.01.2014 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

 

Это задания по геометрии. Необходимо знать все фигуры планиметрии. А 

также следующие понятия, формулы и теоремы: 

  



 

виды  треугольников 



 

понятие биссектрисы, медианы, высоты  



 

основное тригонометрическое тождество 



 

теорема Пифагора 



 

теорема о сумме углов треугольника 



 

теорема о внешнем угле треугольника 



 

теорема косинусов 



 

понятие  синуса,  косинуса,  тангенса  и  котангенса  в  прямоугольном 

треугольнике 



 

тригонометрические функции и их значения  



 

формулы приведения 



 

признаки подобия треугольников 



 

свойства вписанных в окружность углов 



 

свойства  четырехугольников  вписанных  в  окружность  и  описанных 

около неѐ.  



 

параллельные прямые  

 

Прототипов  задач  В6  в  едином  банке  заданий  более  четырѐхсот 

пятидесяти,  но  объективно  говоря,    многие  из  них  нельзя  назвать 

принципиально отличающимися по подходам к решению. Например, более 

150  прототипов  решаются  по  одной-двум  формулам,  поэтому  нет  смысла 

показывать  решение  всех  этих  задач.  Всѐ  же  многие  предоставленные 

здесь задачи  схожи, поэтому решив пару заданий, далее пробуйте решать  

самостоятельно, а затем сверяйте своѐ  решение  и  ответы. 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

 

Если один из углов треугольника прямой (равен 90°), то треугольник 

называется  прямоугольным.  Две  стороны,  образующие  прямой  угол, 

называются  катетами,  а  сторона,  противолежащая  прямому  углу, 

называется гипотенузой (рисунок 1). 

Если  все  углы  треугольника  острые,  то  треугольник  называется 

остроугольным (рисунок 2). 

Если один из углов треугольника тупой (больше 90°), то треугольник 

называется тупоугольным (рисунок 3). 

Равносторонним  называется  треугольник,  у  которого  все  три 

стороны  равны.  В  равностороннем  треугольнике  все  углы  равны  60°,  а 

центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рисунок 4). 

Равнобедренным  называется  треугольник,  у  которого  две  стороны 

равны.  Эти  стороны  называются  боковыми,  третья  сторона  называется 

основанием.  В  равнобедренном  треугольнике  углы  при  основании  равны 

(рисунок 5). 

Разносторонним  называется  треугольник,  у  которого  длины  трѐх 

сторон попарно различны (рисунок 6). 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Биссектриса, медиана, высота. 

Медианой  треугольника,  проведѐнной  из  данной  вершины, 

называется 

отрезок, 

соединяющий 

эту 

вершину 

с 

серединой 

противолежащей  стороны  (основанием  медианы).  Все  три  медианы 

треугольника  пересекаются  в  одной  точке.  Эта  точка  пересечения  делит 

каждую медиану в отношении 1:2 считая от основания медианы (этот факт 

следует помнить). 

       

 

 

 

 

Высотой треугольника, проведѐнной из данной вершины, называется 

перпендикуляр,  опущенный  из  этой  вершины  на  противоположную 

сторону или еѐ продолжение.  

      

     

 

 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Биссектрисой треугольника, проведѐнной из данной вершины, называют 

отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне 

и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника 

пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной 

окружности.  

            

     

 

 

 

 

В  равнобедренном  треугольнике  биссектриса,  медиана  и  высота, 

проведѐнные  к  основанию,  совпадают.  Верно  и  обратное:  если 

биссектриса,  медиана  и  высота,  проведѐнные  из  одной  вершины, 

совпадают, то треугольник равнобедренный.  

 

Основное тригонометрическое тождество 

 

Теорема Пифагора 

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы  



равен сумме квадратов катетов. 

 

 

Зная любые две стороны, мы можем найти третью сторону треугольника. 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Сумма углов треугольника 



Теорема: сумма углов треугольника равна 180 градусам. 

 

Вывод: если нам будут известны любые два угла в треугольнике, то мы 

всегда сможем найти третий угол. 

 

Теорема о внешнем угле треугольника 

Теорема:внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов  

не смежных с ним.   

Рассмотрим произвольный треугольник с углами 



Обозначим внешний угол  как  



 

Значит по теореме: 

 

Доказательство: 

Напомним что такое развѐрнутый угол, чему он равен и что такое смежные 

углы: 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

 

 

 

 

 

По теореме о сумме углов треугольника:     



Из неѐ следует, что  

 .  

 

Получили 

. Теорема доказана. 

 

Конечно же, данная теорема скорее следствие из теоремы о сумме углов 

треугольника, чем «самостоятельная» теорема. 



Обратите внимание, что: 

 

 

 

 

(формулы приведения см. ниже) 

 









 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Теорема косинусов

 

Теорема: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов 

двух  других  сторон,  без  удвоенного  произведения  этих  сторон  на 

косинус  угла между ними. 





 

Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса в 

прямоугольном треугольнике 

Гипотенуза  прямоугольного  треугольника   —  это  сторона,  лежащая 

напротив  прямого  угла.  Катеты —  стороны,  лежащие  напротив  острых 

углов.  

 

Катет  ,  лежащий  напротив  угла 

 ,  называется  противолежащим 

(по отношению  к углу 

).  Другой  катет  ,  который  лежит  на одной 

из сторон угла  , называется прилежащим

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Синус  острого  угла  в прямоугольном  треугольнике —  это  отношение 

противолежащего катета к гипотенузе: 



Косинус  острого  угла  в прямоугольном  треугольнике —  отношение 

прилежащего катета к гипотенузе: 

 

Тангенс  острого  угла  в прямоугольном  треугольнике   —  отношение 

противолежащего катета к прилежащему: 



Другое  (равносильное)  определение  –  тангенсом  острого  угла  называется 

отношение синуса угла к его косинусу: 



Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике  — это отношение 

прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение 

косинуса к синусу): 



 

Основные  соотношения  для  синуса,  косинуса,  тангенса  и  котангенса 

приведены ниже, они пригодятся  при решении задач: 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

 

Таким  образом,  зная  два-три элемента в прямоугольном треугольнике  мы 

всегда сможем найти все остальные его элементы (углы и стороны).   

Значения тригонометрических функций 

Перед вами  значения 



которые необходимо выучить и помнить. 

 

Знание  этих  значений  необходимо,  это  «азбука»,  без  которой    невозможно  будет 

справиться с множеством заданий. Отлично, если память хорошая, вы легко выучили 

и  запомнили  эти  значения.  Что  делать,  если  этого  сделать  не  получается,  в  голове 

путаница, да  просто вы  именно при сдаче экзамена сбились. Обидно будет потерять 

бал из-за того, что вы запишите при расчѐтах неверное значение. 

 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Предлагаем  алгоритм,  благодаря  которому  вы  легко,  в  течение  минуты 

восстановите в памяти все вышеуказанные значения: 

1.

 

Записываем в строчку углы от 0 до 90 градусов. 

 

 

2.

 

Записываем слева в столбик синус и косинус аргумента: 

 

               

 

               

 

 

3.

 

Напротив  синуса  пишем  числа  от  нуля  до  четырѐх  (под  значениями  

углов). Напротив косинуса от 4 до 0. 

 

              

 

              

   

 

4.

 

Далее извлекаем корень: 

  

 

              

 

              

   

 

5.

 

Делим на 2 

                              

 

                   

 

                   

   

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

6.

 

Считаем: 

                                   

 

                       

 

                       

   

 

Мы получили значения синуса и косинуса углов от 0 до 90 градусов.  

Тренируйтесь,  проработайте  данный  алгоритм  раз  семь,  процесс  займѐт 

минут десять. В  будущем это  вам пригодится. 

Далее, зная формулы тангенса и котангенса  



вы сможете найти значения всех  вышеуказанных углов. 

Например: 

 

И так для любого угла. 



















 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Формулы приведения 

«Приведения»  это  значит  приводить  к  простейшему  виду.  Ниже 

представлены  все  формулы    и  правила  приведения  углов.  Но  задачах  В6 

вам понадобятся только те формулы, в которых фигурируют углы 90 и 180 

градусов.  Тем  неменее,  для  вас  важен  сам  принцип  перевода  углов 

лежащих в пределах от 0 до 90 градусов.



Вам  не  нужно  учить  таблицу  и  запоминать  эти  формулы.  Необходимо 

уяснить «закон», который здесь работает: 

1.

 

Необходимо определить знак функции в соответствующей четверти. 

Напомним знаки тригонометрических  функций: 

 

 

2.

 

При 

    функция  изменяется  на  кофункцию  (синус  на 

косинус,  косинус  на  синус,  тангенс  на  котангенс,  котангенс  на 

тангенс) 

При 

 функция на кофункцию не изменяется.  

 

  

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Запишем формальный вид (все фор

мулы приведения): 

 

 

В рамку заключены те формулы, которые используются в задачах. 

 

 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Приведѐм таблицу соответствия радиан градусам  (от 0 до 180 градусов): 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Признаки равенства и подобия треугольников 

Признаки равенства треугольников. 

Равными  называют  треугольники,  у  которых  соответствующие  стороны 

равны. 

Первый признак равенства треугольников: 

Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника 

соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, 

другого треугольника, то такие треугольники равны. 



Второй признак равенства треугольников: 

Если  сторона  и  два  прилежащих  к  ней  угла  одного  треугольника 

соответственно равны стороне и  двум прилежащим к ней углам  другого 

треугольника, то такие треугольники равны. 



Третий признак равенства треугольников: 

Если  три  стороны  одного  треугольника  соответственно  равны  трем 

сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 

 

Признаки подобия треугольников. 

Подобными  называются  треугольники,  у  которых  углы  равны,  а 

сходственные стороны пропорциональны: 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

 



 

 

I признак подобия треугольников: 

Если  два  угла  одного  треугольника  соответственно  равны  двум  углам 

другого, то эти треугольники подобны. 

II признак подобия треугольников: 

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам 

другого треугольника, то такие треугольники подобны. 

III признак подобия треугольников: 

Если  две  стороны  одного  треугольника  пропорциональны  двум  сторонам 

другого  треугольника,  а  углы,  заключенные  между  этими  сторонами, 

равны, то такие треугольники подобны. 

Следствие: площади подобных треугольников  

относятся  как квадрат коэффициента подобия: 









Свойства вписанных в окружность углов 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Вспомним,  что  такое  центральный  и  вписанный  угол;  хорда,  дуга,  на 

которые опираются эти углы.  

Центральным  углом  в  окружности  называется  плоский  угол  с 

вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского 

угла,  называется  дугой  окружности.  Градусной  мерой  дуги  окружности 

называется градусная мера соответствующего центрального угла. 

Угол,  называется  вписанным  в  окружность,  если  вершина  угла 

лежит на окружности, а стороны угла пересекают эту окружность. 

            

 

               

Углы   

    -  центральные,  только  угол 

  опирается  на  дугу,  которая 

больше 180 градусов.  Угол      является вписанным углом. 

 

Отрезок  соединяющий  две  точки  окружности  называется  хордой.  Самая 

большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр. 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 



Для решения задач  В6 на вписанные в окружность углы,  

вам необходимо знать следующие свойства: 

1.

 

Вписанный  угол  равен  половине  центрального,  опирающегося  на  ту 

же дугу: 

 

            

 

 

2.

 

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.  

3.

 

Все вписанные  углы,  опирающиеся на  одну и  ту  же хорду, вершины 

которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.  

               

 

4.

 

Любая  пара  углов,  опирающихся  на  одну  и  ту  же  хорду,  вершины 

которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°: 

 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

 

Следствие:  противолежащие  углы  четырѐхугольника  вписанного  в 

окружность в сумме составляют 180 градусов,   

 

5.

 

Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые. 

 

Вообще, это свойство является следствием из свойства (1), это его частный 

случай.  Посмотрите:  центральный  угол  равен  180  градусам  (он  построен 

на хорде, являющейся диаметром), значит по первому свойству вписанный 

угол  равен  его  половине.  Знание  данного  свойства  помогает  в  решении 

многих задач и помогает избежать лишних расчѐтов. Запомните его (как и 

все остальные). 

Следствие  1:  если  в  окружность  вписан  треугольник  и  одна  его 

сторона  совпадает  с  диаметром  этой  окружности,  то  треугольник 

является  прямоугольным  (вершина  прямого  угла  лежит  на 

окружности). 

Следствие  2:  центр  описанной  около  прямоугольного  треугольника 

окружности совпадает с серединой его гипотенузы. 



 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

Свойства четырехугольников вписанных в окружность и 

описанных около неё. 

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого 

лежат на одной окружности.  

Очевидно,  эта  окружность  будет  называться  описанной  вокруг 

четырехугольника. 

 

Описанный  четырехугольник —  такой,  что  все  его  стороны  касаются 

одной 

окружности. 

В этом 

случае 

окружность 

вписана 

в четырехугольник. 

 

1.

 

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, 

когда суммы его противоположных углов равны 180  градусам. 

 

 

То  есть  если  мы  имеем  вписанный  в  окружность  четырѐхугольник,  то 

сумма его противоположных углов равна 180 градусам. 

2.

 

Четырѐхугольник  можно  описать  около  окружности  тогда  и  только 

тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

 



То есть, если мы имеем описанный около окружности четырѐхугольник, то 

суммы его противоположных сторон равны. 

Ещѐ одно свойство четырѐхугольника: 

 

Параллельные прямые. 

Во  многих    задачах  B6  необходимо  знание  «элементарной  геометрии». 

Необходимо,  например,  помнить  информацию  об  углах,  образованных 

параллельными прямыми и секущей. Это пригодится при решении задач с 

параллелограммами и трапециями.  

1.

 

Соответственные и накрест лежащие углы при параллельных прямых 

равны.  

2.

 

Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна 180°. 

 

А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике. 

http://matematikalegko.ru 

 

Дорогие  друзья!  Далеко  не  все  при  решении  прямоугольных 

треугольников  могут  быстро  с  ориентироваться  и  сразу  же  найти  верный 

путь к решению. Поэтому хотим дать вам некоторые рекомендации: 

1.

 

Если  в  условии  даны  две  стороны  прямоугольного  треугольника, 

сразу  ищете  третью  по  теореме  Пифагора.  Зная  три  стороны,  вы 

всегда  сможете найти тригонометрические функции как внутренних, 

так и внешних углов. 

2.

 

Если дано значение  одой из тригонометрических функций и сторона 

треугольника, то используя основное тригонометрическое тождество, 

понятие  синуса,  косинуса,  тангенса  или  котангенса  ищите  значение 

остальных  тригонометрических  функций.  Далее  вы  без  труда 

сможете найти все стороны треугольника. 

Используя эти советы, ваша задача «обречена» быть  решѐнной. 

Не  следует  торопиться.  Перед  решением  задач,  вернее  перед  решением 

всех  задач  на  самом  ЕГЭ,  восстановите  в  памяти  значения 

тригонометрических  функций  (как  это  делается  описано  выше).  Если  же 

вы  их  знаете  на  отлично,  то  обязательно    запишите  и  положите  перед 

собой. По данной  категории задач  помните, что все они решаются в одно-

два  (максимум  три)  действия,    никаких  «мудрствований»  здесь  нет.  Если 

решение затянулось или вы в тупике, пробуйте другой подход.  

 

перейти в каталог файлов


связь с админом