Главная страница
qrcode

Задания 4-7_Теория и алгоритм решения. Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В10 Элементы теории вероятностей


НазваниеМатематика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В10 Элементы теории вероятностей
Родительский файлZadania 4-7 Teoria i algoritm reshenia.zip
АнкорЗадания 4-7 Теория и алгоритм решения.zip
Дата31.03.2014
Размер0.74 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаЗадания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание
оригинальный pdf просмотр
ТипРеферат
#7130
страница1 из 16
Каталогid69782560
Полное содержание архива Задания 4-7_Теория и алгоритм решения.zip:
1. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 4 - Алгоритм решения.pdf
879.72 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике
2. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 5 - Алгоритм решения.pdf
755.71 Кб.
Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В10 Элементы теории вероятностей
3. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 6 - Алгоритм решения.pdf
939.28 Кб.
Математика егэ 2014 (система задач из открытого банка заданий) Задания В5 Простейшие уравнения
4. Задания 4-7_Теория и алгоритм решения - Задание 7 - Алгоритм решения.pdf
1504.6 Кб.
А. С. Крутицких и Н. С. Крутицких. Подготовка к егэ по математике

С этим файлом связано 44 файл(ов). Среди них: Zadania_8-11_Teoria_i_algoritm_reshenia.zip, Biologia_v_tablitsakh_i_skhemakh.pdf и ещё 34 файл(а).
Показать все связанные файлы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В10. Элементы теории вероятностей 

 

17.10.2013. 

www.alexlarin.net

 

 



Математика ЕГЭ 2014 

(система задач из открытого банка заданий)





Задания В10 



Элементы теории вероятностей 



Материалы подготовили: 

Корянов А. Г. (г. Брянск); e-mail: 

akoryanov@mail.ru

 

Надежкина Н.В. (г. Иркутск); e-mail:  

nadezhkina@yahoo.com

 

 

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение 



1. Элементы комбинаторики

 



   1.1. Непосредственные подсчеты 



   1.2. Правило умножения 



   1.3. Правило сложения 



1.4. Перестановки 



1.5. Размещения 



1.6. Сочетания 



2.Элементы теории вероятностей 



2.1. Случайные опыты и события 



2.2. Элементарные события 



2.3. Частота события 



2.4. Формула классической вероят-

ности



2.5. Комбинаторные методы реше-

ния вероятностных задач 

17 

2.6. Геометрическая вероятность 

18 

2.7. Операции над событиями

19 

2.8. Несовместные события. Форму-

ла сложения вероятностей 

20 

2.9. Совместные события. Формула 

сложения вероятностей

22 

2.10. Независимые события. Форму-

ла умножения вероятностей 

23 

2.11. Зависимые события. Формула 

умножения вероятностей

27 

2.12. Сложение и умножение веро-

ятностей 

27 

2.13. Повторение испытаний. Фор-

мула Бернулли 

31 

3. Дополнительные задачи 

32 

Решения задач-прототипов 

36 

Ответы и указания 

48 

Список и источники литературы 

52 

 

Элементы  содержания,  проверяе-

мые заданиями В10 по кодификатору: 

6.3. Элементы теории вероятностей. 

Проверяемые требования (умения) в 

заданиях В10 по кодификатору: 

5.4.  Использование  вероятностей  и 

статистики  при  решении  прикладных  за-

дач 



Введение 

 

Данное  пособие  является  десятым  в 

серии  пособий  для  подготовки  к  части  В 

ЕГЭ  по  математике  и  посвящено  реше-

нию  задачи  В10  –  одной  из  новых  задач 

части  В.  Пожалуй,  наряду  с  геометриче-

скими задачами, она является и одной из 

самых  «нетривиальных»  в  плане  воспри-

ятия задач первой части.   

Впервые  задача  В10  на  использование 

элементов  теории  вероятностей  появи-

лась  на  ЕГЭ  по  математике  в  2012  году. 

Появление  задачи  В10  в  первой  части 

ЕГЭ  потребовало  уже  не  формального,  а 

действительного  включения  изучения 

элементов теории вероятностей и элемен-

тов  комбинаторики  в  стандартный  курс 

математики старшей школы. Данная «ин-

новация»  (многие  годы  подобный  курс 

входил  лишь  в  программу  углубленного 

изучения  математики)  вызвала  некото-

рую озабоченность (а иногда и растерян-

ность)  в  учительских  кругах  –  ведь  мно-

гие  учителя в последний раз встречались 

с  «задачами  на  вероятность»  в  лучшем 

случае на давних курсах повышения ква-

лификации, а то и вообще в студенческие 

годы.  Массу  вопросов  с  самого  начала 

вызывал  и  уровень  сложности  новых  за-

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В10. Элементы теории вероятностей 

 

17.10.2013. 

www.alexlarin.net

 

 



дач  В10,  а  соответственно  и  необходи-

мый  уровень  глубины  изучения  данной 

темы.   

Основываясь  не  только  на  собствен-

ном опыте, но и на мнении коллег, можно 

сказать,  что  проблема  «что  изучать»  и 

«как  изучать»  старшеклассникам  в  осно-

вах  теории вероятностей во многих  шко-

лах  все  еще  не  решена  окончательно. 

Именно  в  решении  этих  вопросов и  при-

звано  помочь  данное  пособие.  Авторы 

старались тщательно отобрать теоретиче-

ский  и  практический  материал  и  адапти-

ровать  его  именно  к  преподаванию  в 

старших  классах  как  обычной  массовой 

школы,  так  и  инновационного  учебного 

заведения,  с  целью  придать  заинтересо-

ванным ученикам уверенность в решении 

задачи  ЕГЭ  В10  любого  уровня  сложно-

сти.  Что  же  касается  менее  заинтересо-

ванных  учащихся  –  здесь  как    никогда 

актуален  принцип  «лучше  меньше,  да 

лучше».  Исходя  из  личного  опыта  авто-

ров,  даже  очень  слабые  учащиеся,  разго-

вор  о  «размещениях,  сочетаниях  и  пере-

становках»  с  которыми  вести  практиче-

ски бессмысленно,   с большим удоволь-

ствием  (и  некоторой  гордостью)  решают 

задачи  на  основе  определения  вероятно-

сти, а также применяют разные «хитрые» 

приемы,  быстро  приводящие  к  ответу 

даже  в  весьма  непростых  на  первый 

взгляд  задачах.  Такие  задачи  и  приемы 

также приведены в данном пособии. 

В  качестве  практического  материала 

авторами  были  использованы  задачи  «от 

составителей»  из  «открытого  банка  зада-

ний»  [18],  а  также  некоторые  избранные 

задачи    из  диагностических  и  трениро-

вочных  работ  МИОО,  пособий  издатель-

ства МЦНМО  и других учебных пособий 

(см. список литературы). 

Структура  пособия  такова,  что  задачи 

из  «открытого  банка  заданий»,  наряду  с 

фиксированным  номером  из  открытого 

банка  заданий  (он  расположен  в  скобках 

непосредственно  перед  текстом  задачи), 

имеют  также  собственную  тройную  ну-

мерацию внутри пособия. Все типы задач 

из «открытого банка заданий» системати-

зированы  по  содержанию.  Каждый  тип 

задачи представлен тремя задачами (пер-

вая  из  этих  трех  задач  и  есть  прототип 

данного  типа  задач),  что  позволяет  уча-

щемуся  при  необходимости  неоднократ-

но  проверить  себя,  а  учителю  –    исполь-

зовать  дополнительные  задания  в  виде 

отдельных,  уже  готовых  трех  вариантов 

для  домашних  или  проверочных  работ. 

Таким образом, первое число (в скобках)  

в  тройной  нумерации  каждой  задачи 

означает  номер  раздела,  второе  число  – 

номер  типа  задачи  внутри  этого  раздела, 

третье число –  номер задачи внутри типа 

(или номер варианта). 

Задачи  из  «открытого  банка  заданий» 

помечены  буквой  «Б»,  тренировочные 

задачи  -  буквой  «Т».  Тренировочные  за-

дачи  также  систематизированы  по  со-

держанию.  Нумерация  этих  задач  также 

тройная. 

Для  первых  задач  каждого  типа  пред-

ставлены  подробные  решения,  для  всех 

задач есть ответы. 

Мы  постарались  сделать  так,  чтобы 

пособие  было  полезно  и  для  ученика 

практически  любого  уровня  подготовки, 

и  для  учителя,  и  для  репетитора.  Ответы 

и  решения  задач-прототипов  представле-

ны  отдельно  для  того,  чтобы  в  конкрет-

ном  экземпляре  пособия  можно  было 

легко оставить только нужную форму от-

ветов  или  решений  для    проверки  либо 

самопроверки.  Например,  в  экземплярах 

пособий,  предлагаемых  для  уверенных  в 

своих  силах  учеников,  можно  вообще 

убрать  и  ответы,  и  решения.  Для  менее 

уверенных  в  своих  силах  учащихся  мож-

но  оставить  только  решения  задач-

прототипов.  Для  учителя  и  репетитора 

необходимы как раз ответы ко всем зада-

чам  для  упрощения  процесса  проверки  и 

оценки домашних и самостоятельных ра-

бот. 

 















Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В10. Элементы теории вероятностей 

 

17.10.2013. 

www.alexlarin.net

 

 



1. Элементы комбинаторики 

 

Комбинаторика  –  это  раздел  элемен-

тарной  математики,  связанный  с  изуче-

нием  количества  комбинаций,  подчинён-

ных  тем  или  иным  условиям,  которые 

можно составить из заданного конечного 

множества  элементов  (безразлично,  ка-

кой  природы;  это  могут  быть  буквы, 

цифры, какие-либо предметы и т.п.). 

 

1.1. Непосредственные подсчеты 



Для  решения  комбинаторных  задач 

существуют  различные  способы  грамот-

ного  подсчета,  исключающие  возмож-

ность  потери  какой-либо  комбинации 

элементов. 

 

Логический перебор 

 

При логическом переборе выписывают 

все  комбинации  элементов,  придержива-

ясь некоторого правила. 

 

Пример  1. В  случайном  эксперименте 

симметричную  монету  бросают:  а)  два-

жды; б) трижды. Определите все возмож-

ные  комбинации  выпадения  орла  и  реш-

ки. 

Решение.  Выпадение  орла  обозначим 

буквой О, решки – буквой Р.  

а)  Записываем  на  первом  месте  букву 

О: ОО, ОР. Теперь на первом месте запи-

сываем букву Р: РО, РР. В итоге получа-

ем 4 комбинации выпадения орла и реш-

ки: ОО, ОР, РО, РР. 

б)  В  каждой  комбинации,  полученной 

в  предыдущей  задаче,  добавляем  слева 

букву  О:    ООО,  ООР,  ОРО,  ОРР.  Анало-

гично  слева  приписываем  букву  Р:  РОО, 

РОР, РРО, РРР. В итоге получаем 8 ком-

бинаций. 

Для  любителей  информатики  (и  не 

только)  можно  предложить  еще  один 

весьма  удобный  подход  к  записи  всех 

возможных комбинаций. Подход основан 

на  использовании  двоичной  системы 

счисления.  Будем  обозначать  выпадение 

орла  цифрой  0,  а  выпадение  решки  циф-

рой 1. 

а)  Записываем  в  порядке  возрастания 

все числа в двоичной системе счисления, 

требующие  для  своего  представления  не 

более двух знаков: 

00 = 0  

01 = 1  

10 = 2  

11 = 3  

В итоге получаем 4 комбинации выпа-

дения орла (0) и решки (1): 00, 01, 10, 11. 

б)  Записываем  в  порядке  возрастания 

все числа в двоичной системе счисления, 

требующие  для  своего  представления  не 

более трех знаков: 

000 = 0  

001 = 1  

010 = 2  

011 = 3  

100 = 4  

101 = 5  

110 = 6  

111 = 7  

В итоге получаем 8 комбинаций выпа-

дения орла (0) и решки (1): 000, 001, 010, 

011, 100, 101, 110, 111. 

 

Таблица вариантов 

 

Таблица  вариантов  удобна  при  под-

счете  числа  комбинаций  из  двух  элемен-

тов. 

Пример  2.  Сколько  четных  двузнач-

ных чисел можно составить из цифр 0, 1, 

2, 5, 8, 9? 

Решение.  Составим  таблицу:  слева  от 

первого  столбца  таблицы  поместим  циф-

ры  десятков  двузначных  чисел,  выше 

первой строки – цифры единиц. 

 

 









10 

12 

18 



20 

22 

28 



50 

52 

58 



80 

82 

88 



90 

92 

98 

 

Искомых  чисел  будет  столько  же, 

сколько клеток в таблице, то есть 5·3=15.

Ответ: 15. 

Иногда  подсчет  вариантов  облегчают 

графы.  Так  называют  геометрические 

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В10. Элементы теории вероятностей 

 

17.10.2013. 

www.alexlarin.net

 

 



фигуры,  состоящие  из  точек  (их  называ-

ют вершинами) и соединяющих их отрез-

ков  (называемых  ребрами  графа).  Для 

удобства  иллюстрации  условия  задачи  с 

помощью  графа  его  вершины-точки  мо-

гут  быть  заменены  кругами  или  прямо-

угольниками,  а  ребра-отрезки  –  любыми 

линиями. 

Полный граф 

 

При решении задач с помощью полно-

го графа проводят все возможные ребра. 

Пример  3.  Андрей,  Борис,  Виктор  и 

Григорий  играли  в  шахматы.  Каждый 

сыграл  с  каждым  по  одной  партии. 

Сколько партий было сыграно? 

Решение.  Рассмотрим  полный  граф  с 

четырьмя вершинами, обозначенными по 

первым  буквам  имен  каждого  из  4  маль-

чиков.  Отрезки-ребра  обозначают  шах-

матные партии, сыгранные каждой парой 

мальчиков.  Из  рисунка  видно,  что  граф 

имеет  6  ребер,  следовательно,  и  партий 

было сыграно 6. 

 

Ответ: 6. 



Граф-дерево 

 

При решении некоторых задач  удобно 

использовать  граф,  называемый  деревом 

(за внешнее сходство с деревом). 

Пример  4.  Антон,  Борис  и  Василий 

купили  3  билета  на  футбольный  матч  на 

1, 2 и 3-е места первого ряда. Сколькими 

способами  они  могут  занять  имеющиеся 

три места? 

Решение. Изобразим перебор способов 

с  помощью  графа-дерева,  помещая  в 

вершины  графа  первые  буквы  имен  дру-

зей А, Б и В. 

 

 

В итоге получаем 6 способов. 

Ответ: 6. 

 

***

Т(1.1)1.1.  Андрей,  Борис,  Виктор  и 

Григорий после возвращения из спортив-

ного  лагеря  подарили  на  память  друг 

другу  свои  фотографии.  Причем  каждый 

мальчик  подарил  каждому  по  одной  фо-

тографии. Сколько всего фотографий бы-

ло подарено? 

Т(1.1)1.2.  Сколько  различных  трех-

значных  чисел  можно  записать  с  помо-

щью цифр 0, 1, 2, если цифры в числе мо-

гут повторяться? 

Т(1.1)1.3.  Сколько  различных  трех-

значных  чисел  можно  составить  из  цифр 

1,  3,  5,  7,  используя  в  записи  числа  каж-

дую из них не более одного раза? 



1.2. Правило умножения 

 

Перебрать и подсчитать всевозможные 

комбинации  из  данных  элементов,  ис-

пользуя  наглядные  средства,  несложно, 

когда  их  количество  невелико.  Однако 

при  большом  количестве  элементов  этот 

перебор  затруднителен,  и  тогда  исполь-

зуют правила комбинаторики. 

Правило  умножения  (правило  «и») — 

одно из основных правил комбинаторики. 

Согласно ему, если элемент множества А  

может  быть  выбран  m  способами,  а  эле-

мент множества B – n способами, то упо-

рядоченная  пара  (A,  B)  может  быть  со-

ставлена 

m n

  

способами. 

Правило 

обобщается  на  произвольную  длину  по-

следовательности. 

Пример 5. Сколько трехзначных чисел 

можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, ес-

ли: а) числа не повторяются; б) числа мо-

гут повторяться. 

Корянов  А.Г., Надежкина Н.В. Задания В10. Элементы теории вероятностей 

 

17.10.2013. 

www.alexlarin.net

 

 



Решение. а) Первую цифру выбираем 5 

способами, вторую цифру – 4 способами, 

третью  –  3  способами.  Всего 

5 4 3

60

  

 

трехзначных чисел. 

б)  Всего 

5 5 5 125

  

  трехзначных  чи-

сел. 

Ответ: а) 60; б) 125. 

 

*** 
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   16

перейти в каталог файлов


связь с админом